соревнования:
-
Московская математическая олимпиада
(2003 задачи)
Турнир городов
(1854 задачи)
Турнир им.Ломоносова
(372 задачи)
Математический праздник
(404 задачи)
Турнир журнала "Квант"
(8 задач)
Белорусские республиканские математические олимпиады
(132 задачи)
Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
(915 задач)
Московская устная олимпиада по геометрии
(185 задач)
Московская математическая регата
(557 задач)
Московская устная олимпиада для 6-7 классов
(188 задач)
Окружная олимпиада (Москва)
(416 задач)
Всероссийская олимпиада по математике
(1125 задач)
Международная Математическая Олимпиада
(16 задач)
Олимпиада имени Леонарда Эйлера (для 8 классов)
(48 задач)
Заочная олимпиада по теории вероятностей и статистике
(150 задач)
Фильтр
Задачи
Страница: << 1543 1544 1545 1546 1547 1548 1549 >> [Всего задач: 8157]
В остроугольном треугольнике $ABC$ точки $O$, $I$ – центры описанной и вписанной окружностей, $P$ – произвольная точка на отрезке $OI$, точки $P_A$, $P_B$ и $P_C$ – вторые точки пересечения прямых $PA$, $PB$ и $PC$ с окружностью $ABC$. Докажите. что биссектрисы углов $BP_AC$, $CP_BA$ и $AP_CB$ пересекаются в одной точке, лежащей на прямой $OI$.
Пусть $n$ > 1 – целое число. В одной из клеток бесконечной белой клетчатой доски стоит ладья. Каждым ходом она сдвигается по доске ровно на $n$ клеток по вертикали или по горизонтали, закрашивая пройденные $n$ клеток в чёрный цвет. Сделав несколько таких ходов, не проходя никакую клетку дважды, ладья вернулась в исходную клетку. Чёрные клетки образуют замкнутый контур. Докажите, что число белых клеток внутри этого контура даёт при делении на $n$ остаток 1.
На сторонах правильного девятиугольника $ABCDEFGHI$ во внешнюю сторону построили треугольники $XAB$, $YBC$, $ZCD$ и $TDE$. Известно, что углы $X$, $Y$, $Z$, $T$ этих треугольников равны $20^{\circ}$ каждый, а среди углов $XAB$, $YBC$, $ZCD$ и $TDE$ каждый следующий на $20^{\circ}$ больше предыдущего. Докажите, что точки $X$, $Y$, $Z$, $T$ лежат на одной окружности.
Петя прибавил к натуральному числу $N$ натуральное число $M$ и заметил, что сумма цифр у результата та же, что и у $N$. Тогда он снова прибавил $M$ к результату, потом – ещё раз, и т. д. Обязательно ли он когда-нибудь снова получит число с той же суммой цифр, что и у $N$?
В бесконечной арифметической прогрессии, где все числа натуральные, нашлись два числа с одинаковой суммой цифр. Обязательно ли в ней найдётся ещё одно число с такой же суммой цифр?
Страница: << 1543 1544 1545 1546 1547 1548 1549 >> [Всего задач: 8157]
Задача 67131 |
|
|
|
|
|
Решение |
Задача 67155 |
|
|
|
|
|
Решение |
Задача 67156 |
|
|
|
|
|
Решение |
Задача 67157 |
|
|
|
|
|
Решение |
Задача 67163 |
|
|
|
|
|
Решение |
Страница: << 1543 1544 1545 1546 1547 1548 1549 >> [Всего задач: 8157]
