Каталог по источникам

Задачи

Страница: << 578 579 580 581 582 583 584 >> [Всего задач: 7526]

Задача 116524

Темы:	[	Углы между прямыми и плоскостями	]
	[	Касающиеся сферы	]
	[	Прямоугольные параллелепипеды	]
	[	Расстояние между двумя точками. Уравнение сферы	]
	[	Сфера, вписанная в трехгранный угол	]

Сложность: 3
Классы: 10,11

В прямоугольном параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁D₁ четыре числа – длины рёбер и диагонали AC₁ – образуют арифметическую прогрессию с положительной разностью d, причём AA₁ < AB < BC. Две внешне касающиеся друг друга сферы одинакового неизвестного радиуса R расположены так, что их центры лежат внутри параллелепипеда, причём первая сфера касается граней ABB₁A₁, ADD₁A₁, ABCD, а вторая – граней BCC₁B₁, CDD₁C₁, A₁B₁C₁D₁. Найдите: а) длины рёбер параллелепипеда; б) угол между прямыми CD₁ и AC₁; в) радиус R.

Прислать комментарий

Решение

Задача 30607

Тема:

[

Арифметика остатков (прочее)

]

Сложность: 3+
Классы: 8,9,10

Докажите, что 11ⁿ⁺² + 12²ⁿ⁺¹ делится на 133 при любом натуральном n.

Прислать комментарий

Решение

Задача 30667

Тема:

[

Уравнения в целых числах

]

Сложность: 3+
Классы: 8,9

Докажите, что уравнение ¹/_x – ¹/_y = ¹/_n имеет единственное решение в натуральных числах тогда и только тогда, когда n – простое число.

Прислать комментарий

Решение

Задача 32089

Темы:	[	Шахматные доски и шахматные фигуры	]
	[	Арифметика остатков (прочее)	]
	[	Примеры и контрпримеры. Конструкции	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9,10

Какое максимальное число ладей можно расставить в кубе 8×8×8, чтобы они не били друг друга?

Прислать комментарий

Решение

Задача 32137

Тема:

[

Средняя линия треугольника

]

Сложность: 3+
Классы: 7,8,9

Вершины A, B, C треугольника соединены с точками A₁, B₁, C₁, лежащими на противоположных сторонах (не в вершинах).
Могут ли середины отрезков AA₁, BB₁, CC₁ лежать на одной прямой?

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 578 579 580 581 582 583 584 >> [Всего задач: 7526]