Каталог по источникам

Задачи

Страница: << 584 585 586 587 588 589 590 >> [Всего задач: 7526]

Задача 35053

Темы:	[	Теория игр (прочее)	]
Темы:	[	Принцип Дирихле (прочее)	]

Сложность: 3+
Классы: 9,10,11

2n конфет разложены по n коробкам. Девочка и мальчик по очереди берут по одной конфете, первой выбирает девочка.
Докажите, что мальчик может выбирать конфеты так, чтобы две последние конфеты оказались из одной коробки.

Прислать комментарий

Решение

Задача 35073

Темы:	[	Пространственные многоугольники	]
	[	Теоремы Чевы и Менелая	]
	[	Касательные к сферам	]
	[	Признаки и свойства равнобедренного треугольника.	]

Сложность: 3+
Классы: 10,11

Стороны AB, BC, CD, DA пространственного четырёхугольника ABCD касаются некоторой сферы в точках K, L, M, N соответственно.
Докажите, что точки K, L, M, N лежат в одной плоскости.

Прислать комментарий

Решение

Задача 35074

Темы:	[	Вписанные и описанные окружности	]
	[	Средняя линия трапеции	]
	[	Системы линейных уравнений	]

Сложность: 3+
Классы: 9,10,11

Внутри треугольника ABC нашлись такие точки P и Q, что точка P удалена от прямых AB, BC, CA на расстояния 6, 7 и 12 соответственно, а точка Q удалена от прямых AB, BC, CA на расстояния 10, 9 и 4 соответственно. Найдите радиус вписанной окружности треугольника ABC.

Прислать комментарий

Решение

Задача 35079

Темы:	[	Периодические и непериодические дроби	]
	[	Рациональные и иррациональные числа	]
	[	Доказательство от противного	]

Сложность: 3+
Классы: 9,10

Докажите, что бесконечная десятичная дробь 0,1234567891011121314... (после запятой подряд выписаны все натуральные числа по порядку) представляет собой иррациональное число.

Прислать комментарий

Решение

Задача 35084

Темы:	[	Алгебраические неравенства (прочее)	]
Темы:	[	Неравенство Коши	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9,10,11

Докажите, что для любых различных положительных чисел a, b, c, d выполнено неравенство ^a²/_b + ^b²/_c + ^c²/_d + ^d²/_a > a + b + c + d.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 584 585 586 587 588 589 590 >> [Всего задач: 7526]