Каталог по источникам

Задачи

Страница: << 1426 1427 1428 1429 1430 1431 1432 >> [Всего задач: 7526]

Задача 35406

Темы:	[	Деление с остатком	]
	[	Индукция (прочее)	]
	[	НОД и НОК. Взаимная простота	]
	[	Доказательство от противного	]

Сложность: 4+
Классы: 8,9,10

Дано n целых чисел, каждое из которых взаимно просто с n. Также дано неотрицательное целое число r < n.
Докажите, что среди данных n чисел можно выбрать несколько чисел, сумма которых дает остаток r при делении на n.

Прислать комментарий

Решение

Задача 52367

Темы:	[	Величина угла между двумя хордами и двумя секущими	]
Темы:	[	Центральный угол. Длина дуги и длина окружности	]

Сложность: 4+
Классы: 8,9

По стороне правильного треугольника катится окружность радиуса, равного высоте треугольника. Докажите, что угловая величина дуги, высекаемой на окружности сторонами треугольника, всегда равна 60^o.

Прислать комментарий Решение

Задача 52396

Темы:	[	Вспомогательная окружность	]
	[	Отрезок, видимый из двух точек под одним углом	]
	[	Вписанные и описанные окружности	]

Сложность: 4+
Классы: 8,9

Вписанная окружность касается сторон AB и AC треугольника ABC в точках M и N. Пусть P — точка пересечения прямой MN и биссектрисы угла B (или её продолжения). Докажите, что $\angle$ BPC = 90^o.

Прислать комментарий Решение

Задача 52422

Темы:	[	Прямоугольные треугольники (прочее)	]
Темы:	[	Биссектриса делит дугу пополам	]

Сложность: 4+
Классы: 8,9

В треугольнике ABC стороны AC и BC не равны. Докажите, что биссектриса угла C делит пополам угол между медианой и высотой, проведёнными из вершины C, тогда и только тогда, когда $\angle$ C = 90^o.

Прислать комментарий Решение

Задача 52476

Темы:	[	Теорема синусов	]
Темы:	[	Теорема о длинах касательной и секущей; произведение всей секущей на ее внешнюю часть	]

Сложность: 4+
Классы: 8,9

Две окружности радиусов R и r пересекаются в точках A и B и касаются прямой в точках C и D; N — точка пересечения прямых AB и CD (B между A и N). Найдите:

1) радиус окружности, описанной около треугольника ACD;

2) отношение высот треугольников NAC и NAD, опущенных из вершины N.

Прислать комментарий Решение

Страница: << 1426 1427 1428 1429 1430 1431 1432 >> [Всего задач: 7526]