Страница: << 149 150 151 152 153 154 155 >> [Всего задач: 1124]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 65253

Темы:   [ Интерполяционный многочлен Лагранжа ] [ Многочлен n-й степени имеет не более n корней ] [ Возрастание и убывание. Исследование функций ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ] [ Доказательство от противного ]

Сложность: 4+ Классы: 9,10,11

Дано натуральное число  n > 3.  Назовём набор из n точек на координатной плоскости допустимым, если их абсциссы различны, и каждая из этих точек окрашена либо в красный, либо в синий цвет. Будем говорить, что многочлен P(x) разделяет допустимый набор точек, если либо выше графика P(x) нет красных точек, а ниже – нет синих, либо наоборот (на самом графике могут лежать точки обоих цветов). При каком наименьшем k любой допустимый набор из n точек можно разделить многочленом степени не более k?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 65713

Темы:   [ Соображения непрерывности ] [ Разбиения на пары и группы; биекции ]

Сложность: 4+ Классы: 9,10,11

По кругу стоят n мальчиков и n девочек. Назовём пару из мальчика и девочки хорошей, если на одной из дуг между ними стоит поровну мальчиков и девочек (в частности, стоящие рядом мальчик и девочка образуют хорошую пару). Оказалось, что есть девочка, которая участвует ровно в 10 хороших парах. Докажите, что есть и мальчик, который участвует ровно в 10 хороших парах.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 65714

Темы:   [ Системы алгебраических нелинейных уравнений ] [ Разложение на множители ] [ Алгебраические неравенства (прочее) ]

Сложность: 4+ Классы: 9,10,11

Найдите все такие пары различных действительных чисел x и y, что  x¹⁰⁰ – y¹⁰⁰ = 2⁹⁹(x – y)  и  x²⁰⁰ – y²⁰⁰ = 2¹⁹⁹(x – y).

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 65755

Темы:   [ Произведения и факториалы ] [ НОД и НОК. Взаимная простота ] [ Уравнения в целых числах ]

Сложность: 4+ Классы: 9,10,11

На доске написаны четыре попарно различных целых числа, модуль каждого из которых больше миллиона. Известно, что не существует натурального числа, большего 1, на которое бы делилось каждое из четырёх написанных чисел. Петя записал в тетрадку шесть попарных сумм этих чисел, разбил эти шесть сумм на три пары и перемножил числа в каждой паре. Могли ли все три произведения оказаться равными?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 108136

Темы:   [ Поворот помогает решить задачу ] [ Длины и периметры (геометрические неравенства) ] [ Вспомогательные равные треугольники ] [ Неравенство треугольника (прочее) ] [ Вписанные и описанные окружности ]

Сложность: 4+ Классы: 8,9

Пусть O – центр описанной окружности треугольника ABC. На сторонах AB и BC выбраны точки M и N соответственно, причём  2∠MON = ∠AOC.  Докажите, что периметр треугольника MBN не меньше стороны AC.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 149 150 151 152 153 154 155 >> [Всего задач: 1124]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями