Страница:
<< 152 153 154 155
156 157 158 >> [Всего задач: 1124]
|
|
|
Сложность: 4+
Классы: 8,9,10,11
|
Окружность с центром O, вписанная в треугольник ABC, касается
стороны AC в точке K. Вторая окружность, также с центром O,
пересекает все стороны треугольника ABC. Пусть E и F –
её точки пересечения со сторонами соответственно AB и BC, ближайшие к вершине B; B1 и B2 – точки её пересечения со стороной AC, B1 – ближе к A. Докажите, что точки B, K и точка P пересечения отрезков B2E и B1F лежат на одной прямой.
|
|
|
Сложность: 4+
Классы: 10,11
|
Найдите все функции
f(
x)
, определенные при всех положительных
x , принимающие положительные
значения и удовлетворяющие при любых положительных
x и
y равенству
f(
xy)
=f(
x)
f(
y)
.
|
|
|
Сложность: 4+
Классы: 8,9,10,11
|
В правильном (6n+1)-угольнике K вершин покрашено в красный цвет, а остальные – в синий.
Докажите, что количество равнобедренных треугольников с одноцветными вершинами не зависит от способа раскраски.
|
|
|
Сложность: 4+
Классы: 9,10,11
|
Функции f(x) и g(x) определены на множестве целых чисел, не превосходящих по модулю 1000. Обозначим через m число пар (x, y), для которых
f(x) = g(y), через n – число пар, для которых f(x) = f(y), а через k – число пар, для которых g(x) = g(y). Докажите, что 2m ≤ n + k.
|
|
|
Сложность: 4+
Классы: 9,10,11
|
Докажите, что если
(
x+
)(
y+
)
=1
, то
x+y=0
.
Страница:
<< 152 153 154 155
156 157 158 >> [Всего задач: 1124]
Фильтр
