Страница:
<< 154 155 156 157
158 159 160 >> [Всего задач: 1124]
|
|
|
Сложность: 4+
Классы: 8,9,10
|
Пусть натуральные числа x, y, p, n и k таковы, что
xn + yn = pk.
Докажите, что если число n (n > 1) нечётно, а число p нечётное простое, то n является степенью числа p (с натуральным показателем).
|
|
|
Сложность: 4+
Классы: 8,9,10,11
|
Переаттестация Совета Мудрецов происходит так: король выстраивает их в колонну по одному и надевает каждому колпак белого, синего или красного цветов. Все мудрецы видят цвета всех колпаков впереди стоящих мудрецов, а цвет своего и всех стоящих сзади не видят. Раз в минуту один из мудрецов должен выкрикнуть один из трёх цветов (каждый мудрец выкрикивает цвет один раз).
После окончания этого процесса король казнит каждого мудреца, выкрикнувшего цвет, отличный от цвета его колпака.
Накануне переаттестации все сто членов Совета Мудрецов договорились
и придумали, как минимизировать число казненных. Скольким из них гарантированно удастся избежать казни?
|
|
|
Сложность: 4+
Классы: 9,10,11
|
Найдите все бесконечные ограниченные последовательности натуральных чисел
a1, a2, a3, ..., для всех членов которых, начиная с третьего, выполнено
|
|
|
Сложность: 4+
Классы: 8,9,10
|
Числа от 1 до 1000000 покрашены в два цвета – чёрный и белый. За ход
разрешается выбрать любое число от 1 до 1000000 и перекрасить его и все числа,
не взаимно простые с ним, в противоположный цвет. Вначале все числа были чёрными.
Можно ли за несколько ходов добиться того, что все числа станут белыми?
|
|
|
Сложность: 4+
Классы: 8,9,10
|
Докажите, что при любом натуральном n справедливо неравенство 
Страница:
<< 154 155 156 157
158 159 160 >> [Всего задач: 1124]
Фильтр
