Страница: << 157 158 159 160 161 162 163 >> [Всего задач: 1124]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 109809

Темы:   [ Описанные четырехугольники ] [ Признаки и свойства параллелограмма ] [ Конкуррентность высот. Углы между высотами. ] [ Окружность, вписанная в угол ] [ Описанные четырехугольники ] [ Перенос помогает решить задачу ]

Сложность: 4+ Классы: 8,9,10

Четырехугольник ABCD описан около окружности. Биссектрисы внешних углов A и B пересекаются в точке K , внешних углов B и C – в точке L , внешних углов C и D – в точке M , внешних углов D и A – в точке N . Пусть K₁ , L₁ , M₁ , N₁ – точки пересечения высот треугольников ABK , BCL , CDM , DAN соответственно. Докажите, что четырехугольник K₁L₁M₁N₁ – параллелограмм.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 109854

Темы:   [ НОД и НОК. Взаимная простота ] [ Упорядочивание по возрастанию (убыванию) ] [ Простые числа и их свойства ]

Сложность: 4+ Классы: 8,9,10

Пусть a₁, a₂, ..., a₁₀ – натуральные числа,  a₁ < a₂ < ... < a₁₀.  Пусть b_k – наибольший делитель a_k, меньший a_k. Оказалось, что b₁ > b₂ > ... > b₁₀.
Докажите, что  a₁₀ > 500.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 109856

Темы:   [ Замощения костями домино и плитками ] [ Геометрия на клетчатой бумаге ] [ Связность. Связные множества ] [ Теория игр (прочее) ] [ Четность и нечетность ]

Сложность: 4+ Классы: 8,9,10,11

Клетчатый квадрат 100×100 разрезан на доминошки. Двое играют в игру. Каждым ходом игрок склеивает две соседних по стороне клетки, между которыми был проведён разрез. Игрок проигрывает, если после его хода фигура получилась связной, то есть весь квадрат можно поднять со стола, держа его за одну клетку. Кто выиграет при правильной игре – начинающий или его соперник?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 109883

Темы:   [ Интерполяционный многочлен Лагранжа ] [ Уравнения в целых числах ]

Сложность: 4+ Классы: 10,11

Найдите все такие натуральные n, что при некоторых различных натуральных a, b, c и d среди чисел

есть по крайней мере два числа, равных n.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 109887

Темы:   [ Разрезания на части, обладающие специальными свойствами ] [ Неравенства с площадями ] [ Перегруппировка площадей ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]

Сложность: 4+ Классы: 8,9,10

Верно ли, что из произвольного треугольника можно вырезать три равные фигуры, площадь каждой из которых больше четверти площади треугольника?

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 157 158 159 160 161 162 163 >> [Всего задач: 1124]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями