ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Задачи

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 7]      



Задача 109838  (#06.5.11.1)

Темы:   [ Тригонометрические неравенства ]
[ Иррациональные неравенства ]
[ Возрастание и убывание. Исследование функций ]
[ Монотонность и ограниченность ]
Сложность: 5
Классы: 10,11

Докажите, что sin< при 0<x< .
Прислать комментарий     Решение


Задача 109839  (#06.5.11.2)

Темы:   [ Периодические и непериодические дроби ]
[ Квадратные уравнения. Теорема Виета ]
[ Целочисленные и целозначные многочлены ]
[ Периодичность и непериодичность ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9,10,11

Сумма и произведение двух чисто периодических десятичных дробей – чисто периодические дроби с периодом T.
Докажите, что исходные дроби имеют периоды не больше T.

Прислать комментарий     Решение

Задача 109840  (#06.5.11.3)

Темы:   [ Геометрия на клетчатой бумаге ]
[ Целочисленные решетки (прочее) ]
[ Алгебраические методы ]
[ Метод координат на плоскости ]
[ Свойства суммы, разности векторов и произведения вектора на число ]
[ Разложение вектора по двум неколлинеарным векторам ]
[ Теория игр (прочее) ]
Сложность: 5+
Классы: 8,9,10,11

В клетчатом прямоугольнике 49×69 отмечены все 50· 70 вершин клеток. Двое играют в следующую игру: каждым своим ходом каждый игрок соединяет две точки отрезком, при этом одна точка не может являться концом двух проведенных отрезков. Отрезки могут содержать общие точки. Отрезки проводятся до тех пор, пока точки не кончатся. Если после этого первый может выбрать на всех проведенных отрезках направления так, что сумма всех полученных векторов равна нулевому вектору, то он выигрывает, иначе выигрывает второй. Кто выигрывает при правильной игре?
Прислать комментарий     Решение


Задача 109841  (#06.5.11.4)

Темы:   [ Биссектриса делит дугу пополам ]
[ Вспомогательная окружность ]
[ Вписанные и описанные окружности ]
[ Радиусы вписанной, описанной и вневписанной окружности (прочее) ]
[ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ]
[ Отрезок, видимый из двух точек под одним углом ]
[ Средняя линия треугольника ]
[ Вспомогательные равные треугольники ]
[ Произведение длин отрезков хорд и длин отрезков секущих ]
[ Отношения линейных элементов подобных треугольников ]
Сложность: 4
Классы: 9,10,11

Биссектрисы BB1 и CC1 треугольника ABC пересекаются в точке I. Прямая B1C1 пересекает описанную окружность треугольника ABC в точках M и N.
Докажите, что радиус описанной окружности треугольника MIN вдвое больше радиуса описанной окружности треугольника ABC.

Прислать комментарий     Решение

Задача 109842  (#06.5.11.5)

Темы:   [ Рекуррентные соотношения (прочее) ]
[ Индукция (прочее) ]
[ Алгебраические неравенства (прочее) ]
Сложность: 4
Классы: 1,2

Последовательности положительных чисел (xn) и (yn) удовлетворяют условиям     при всех натуральных n. Докажите, что если все числа x1, x2, y1, y2 больше 1, то  xn > yn  при каком-нибудь натуральном n.

Прислать комментарий     Решение

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 7]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .