ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Задачи

Страница: << 1 2 3 4 5 >> [Всего задач: 23]      



Задача 64471  (#16)

Темы:   [ Вписанные и описанные окружности ]
[ Три прямые, пересекающиеся в одной точке ]
[ Преобразования плоскости (прочее) ]
[ Теорема синусов ]
Сложность: 5
Классы: 9,10,11

Автор: Ивлев Ф.

Вписанная в треугольник ABC окружность касается сторон BC, CA, AB в точках A', B', C' соответственно. Перпендикуляр, опущенный из центра I этой окружности на медиану CM, пересекает прямую A'B' в точке K. Докажите, что  CK || AB.

Прислать комментарий     Решение

Задача 64472  (#17)

Темы:   [ Четырехугольник: вычисления, метрические соотношения. ]
[ Теорема косинусов ]
[ Теорема Птолемея ]
Сложность: 4
Классы: 9,10,11

Дан вписанный четырёхугольник, острый угол между диагоналями которого равен φ. Докажите, что острый угол между диагоналями любого другого четырёхугольника с теми же длинами сторон (идущими в том же порядке) меньше φ.

Прислать комментарий     Решение

Задача 64473  (#18)

Темы:   [ Инверсия помогает решить задачу ]
[ Преобразования плоскости (прочее) ]
Сложность: 5-
Классы: 9,10,11

Автор: Иванов А.

В треугольнике ABC проведена биссектриса AD. Точки M и N являются проекциями вершин B и C на AD. Окружность с диаметром MN пересекает BC в точках X и Y. Докажите, что  ∠BAX = ∠CAY.

Прислать комментарий     Решение

Задача 64474  (#19)

Темы:   [ Вписанные и описанные окружности ]
[ Три прямые, пересекающиеся в одной точке ]
[ Гомотетия помогает решить задачу ]
[ Вписанные четырехугольники (прочее) ]
Сложность: 5
Классы: 10,11

а) Вписанная окружность треугольника ABC касается сторон AC и AB в точках B0 и C0 соответственно. Биссектрисы углов B и C треугольника ABC пересекают серединный перпендикуляр к биссектрисе AL в точках Q и P соответственно. Докажите, что прямые PC0 и QB0 пересекаются на прямой BC.

б) В треугольнике ABC провели биссектрису AL. Точки O1 и O2 – центры описанных окружностей треугольников ABL и ACL соответственно. Точки B1 и C1 – проекции вершин C и B на биссектрисы углов B и C соответственно. Докажите, что прямые O1C1 и O2B1 пересекаются на прямой BC.

в) Докажите, что точки, полученные в пп. а) и б), совпадают.

Прислать комментарий     Решение

Задача 64475  (#20)

Темы:   [ Три точки, лежащие на одной прямой ]
[ Вписанные четырехугольники (прочее) ]
[ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ]
[ Симметрия помогает решить задачу ]
Сложность: 4+
Классы: 10,11

На стороне AB треугольника ABC взята произвольная точка C1. Точки A1, B1 на лучах BC и AC таковы, что  ∠AC1B1 = ∠BC1A1 = ∠ACB.  Прямые AA1 и BB1 пересекаются в точке C2. Докажите, что все прямые C1C2 проходят через одну точку.

Прислать комментарий     Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 >> [Всего задач: 23]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .