ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Задачи

Страница: << 1 2 3 4 5 >> [Всего задач: 23]      



Задача 64466  (#11)

Темы:   [ Четырехугольник: вычисления, метрические соотношения. ]
[ Радиусы вписанной, описанной и вневписанной окружности (прочее) ]
[ Неравенство треугольника (прочее) ]
[ Вспомогательная площадь. Площадь помогает решить задачу ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9,10

а) Дан выпуклый четырёхугольник ABCD. Пусть  r1r2r3r4  – взятые в порядке возрастания радиусы вписанных окружностей треугольников ABC, BCD, CDA, DAB. Может ли оказаться, что  r4 > 2r3?

б) В выпуклом четырёхугольнике ABCD диагонали пересекаются в точке E. Пусть  r1r2r3r4  – взятые в порядке возрастания радиусы вписанных окружностей треугольников ABE, BCE, CDE, DAE. Может ли оказаться, что  r2 > 2r1?

Прислать комментарий     Решение

Задача 64467  (#12)

Темы:   [ Построения одной линейкой ]
[ Взаимное расположение высот, медиан, биссектрис и проч. ]
[ Отношение, в котором биссектриса делит сторону ]
[ Взаимоотношения между сторонами и углами треугольников (прочее) ]
Сложность: 4+
Классы: 8,9,10,11

На каждой стороне треугольника ABC отмечены две различные точки. Известно, что это основания высот и биссектрис.

  а) Пользуясь только линейкой без делений, определите, где высоты, а где биссектрисы.

  б) Решите пункт а), проведя только три прямых.

Прислать комментарий     Решение

Задача 64468  (#13)

Темы:   [ Вписанные и описанные окружности ]
[ Вневписанные окружности ]
[ Ортоцентр и ортотреугольник ]
[ Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках ]
Сложность: 4-
Классы: 9,10

Автор: Ивлев Ф.

Пусть A1 и C1 – точки касания вписанной окружности со сторонами BC и AB соответственно, а A' и C' – точки касания вневписанной окружности треугольника, вписанной в угол B, с продолжениями сторон BC и AB соответственно. Докажите, что ортоцентр H треугольника ABC лежит на A1C1 тогда и только тогда, когда прямые A'C1 и BA перпендикулярны.

Прислать комментарий     Решение

Задача 64469  (#14)

Темы:   [ Проекции оснований, сторон или вершин трапеции ]
[ Вписанные и описанные окружности ]
[ Вписанные четырехугольники (прочее) ]
[ Тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике ]
Сложность: 4
Классы: 9,10,11

Точки M, N – середины диагоналей AC, BD прямоугольной трапеции ABCD  (∠A = ∠D = 90°).  Описанные окружности треугольников ABN, CDM пересекают прямую BC в точках Q, R. Докажите, что точки Q, R равноудалены от середины отрезка MN.

Прислать комментарий     Решение

Задача 64470  (#15)

Темы:   [ Центральная симметрия помогает решить задачу ]
[ Поворот помогает решить задачу ]
[ Точки Брокара ]
Сложность: 4
Классы: 9,10,11

а) В треугольник ABC вписаны треугольники A1B1C1 и A2B2C2 так, что  C1A1BCA1B1CAB1C1ABB2A2BCC2B2CA,
A2C2AB.  Докажите, что эти треугольники равны.

б) Внутри треугольника ABC взяли точки A1, B1, C1, A2, B2, C2 так, что A1 - на отрезке AB1, B1 - на отрезке BC1, C1 – на отрезке CA1, A2 – на отрезке AC2, B2 – на отрезке BA2, C2 – на отрезке CB2 и углы BAA1, CBB1, ACC1, CAA2, ABB2, BCC2 равны. Докажите, что треугольники A1B1C1 и A2B2C2 равны.

Прислать комментарий     Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 >> [Всего задач: 23]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .