ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Задачи

Страница: << 1 2 3 4 5 >> [Всего задач: 24]      



Задача 64766  (#9.6)

Темы:   [ Равнобедренные, вписанные и описанные трапеции ]
[ Центральная симметрия (прочее) ]
[ Симметрия помогает решить задачу ]
[ Ортогональная (прямоугольная) проекция ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9,10

Трапеция ABCD с основаниями AB и CD вписана в окружность Ω. Окружность ω проходит через точки C, D и пересекает отрезки CA, CB в точках A1, B1 соответственно. Точки A2 и B2 симметричны точкам A1 и B1 относительно середин отрезков CA и CB соответственно. Докажите, что точки A, B, A2 и B2 лежат на одной окружности.

Прислать комментарий     Решение

Задача 64774  (#10.6)

Темы:   [ Вписанные и описанные окружности ]
[ Вписанные четырехугольники (прочее) ]
[ Вспомогательные подобные треугольники ]
[ Две касательные, проведенные из одной точки ]
[ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ]
[ Теорема о длинах касательной и секущей; произведение всей секущей на ее внешнюю часть ]
Сложность: 4-
Классы: 9,10,11

Точка M – середина стороны AC треугольника ABC. На отрезках AM и CM выбраны точки P и Q соответственно таким образом, что  PQ = AC/2.  Описанная окружность треугольника ABQ второй раз пересекает сторону BC в точке X, а описанная окружность треугольника BCP, второй раз пересекает сторону AB в точке Y. Докажите, что четырёхугольник BXMY – вписанный.

Прислать комментарий     Решение

Задача 64782  (#11.6)

Темы:   [ Сфера, описанная около тетраэдра ]
[ Сферы (прочее) ]
[ Теорема о длинах касательной и секущей; произведение всей секущей на ее внешнюю часть ]
[ Центральная симметрия помогает решить задачу ]
Сложность: 4-
Классы: 10,11

Сфера ω проходит через вершину S пирамиды SABC и пересекает рёбра SA, SB и SC вторично в точках A1, B1 и C1 соответственно. Сфера Ω, описанная около пирамиды SABC, пересекается с ω по окружности, лежащей в плоскости, параллельной плоскости (ABC). Точки A2, B2 и C2 симметричны точкам A1, B1 и C1 относительно середин рёбер SA, SB и SC соответственно. Докажите, что точки A, B, C, A2, B2 и C2 лежат на одной сфере.

Прислать комментарий     Решение

Задача 64767  (#9.7)

Темы:   [ Рациональные и иррациональные числа ]
[ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]
Сложность: 4
Классы: 8,9,10

В республике математиков выбрали число  α > 2  и выпустили монеты достоинствами в 1 рубль, а также в αk рублей при каждом натуральном k. При этом α было выбрано так, что достоинства всех монет, кроме самой мелкой, иррациональны. Могло ли оказаться, что любую сумму в натуральное число рублей можно набрать этими монетами, используя монеты каждого достоинства не более 6 раз?

Прислать комментарий     Решение

Задача 64767  (#10.7)

Темы:   [ Рациональные и иррациональные числа ]
[ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]
Сложность: 4
Классы: 8,9,10

В республике математиков выбрали число  α > 2  и выпустили монеты достоинствами в 1 рубль, а также в αk рублей при каждом натуральном k. При этом α было выбрано так, что достоинства всех монет, кроме самой мелкой, иррациональны. Могло ли оказаться, что любую сумму в натуральное число рублей можно набрать этими монетами, используя монеты каждого достоинства не более 6 раз?

Прислать комментарий     Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 >> [Всего задач: 24]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .