Страница: << 4 5 6 7 8 9 10 >> [Всего задач: 48]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 64807  (#9.4)

Темы:   [ Вписанные и описанные окружности ] [ Инверсия помогает решить задачу ] [ Проекция на прямую (прочее) ]

Сложность: 4+ Классы: 9,10

Ортоцентр H треугольника ABC лежит на вписанной в треугольник окружности.
Докажите, что три окружности с центрами A, B, C, проходящие через H, имеют общую касательную.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 64808  (#9.5)

Темы:   [ Треугольники с углами $60^\circ$ и $120^\circ$ ] [ Вписанные и описанные окружности ] [ Ортоцентр и ортотреугольник ] [ Симметрия помогает решить задачу ] [ Вписанные четырехугольники (прочее) ]

Сложность: 3+ Классы: 9,10

В треугольнике ABC  ∠B = 60°,  O – центр описанной окружности, BL – биссектриса. Описанная окружность треугольника BOL пересекает описанную окружность треугольника ABC вторично в точке D. Докажите, что  BD ⊥ AC.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 64809  (#9.6)

Темы:   [ Три точки, лежащие на одной прямой ] [ Симметрия помогает решить задачу ] [ Медиана, проведенная к гипотенузе ] [ Вневписанные окружности ] [ Гомотетия помогает решить задачу ] [ Средняя линия треугольника ] [ Равнобедренные, вписанные и описанные трапеции ]

Сложность: 4- Классы: 9,10

Пусть I – центр вписанной окружности треугольника ABC, M, N – середины дуг ABC и BAC описанной окружности.
Докажите, что точки M, I, N лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда  AC + BC = 3AB.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 64810  (#9.7)

Темы:   [ Касающиеся окружности ] [ Теоремы Чевы и Менелая ]

Сложность: 4- Классы: 9,10

Девять окружностей расположены вокруг произвольного треугольника так, как показано на рисунке. Окружности, касающиеся одной и той же стороны треугольника, равны между собой. Докажите, что три прямые на рисунке пересекаются в одной точке. (Прямые проходят через вершины треугольника и центры соответствующих окружностей.)

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 64811  (#9.8)

Темы:   [ Выпуклые многоугольники ] [ Принцип крайнего (прочее) ] [ Выпуклая оболочка и опорные прямые (плоскости) ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]

Сложность: 5 Классы: 9,10

Выпуклый фанерный многоугольник P лежит на деревянном столе. В стол можно вбивать гвозди, которые не должны проходить через P, но могут касаться его границы. Фиксирующим называется набор гвоздей, не позволяющий двигать P по столу. Найдите минимальное количество гвоздей, позволяющее зафиксировать любой выпуклый многоугольник.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 4 5 6 7 8 9 10 >> [Всего задач: 48]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями