ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Задачи

Страница: << 1 2 3 4 5 >> [Всего задач: 24]      



Задача 65794  (#6)

Темы:   [ Вписанные и описанные окружности ]
[ Ортогональная (прямоугольная) проекция ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9

Из середины M стороны AC треугольника ABC опущены перпендикуляры MD и ME на стороны AB и BC соответственно. Около треугольников ABE и BCD описаны окружности. Докажите, что расстояние между центрами этих окружностей равно AC/4.

Прислать комментарий     Решение

Задача 65795  (#7)

Темы:   [ Выпуклые многоугольники ]
[ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]
[ Полуинварианты ]
[ Против большей стороны лежит больший угол ]
[ Неравенство треугольника (прочее) ]
Сложность: 4
Классы: 9,10

В некотором выпуклом n-угольнике  (n > 3)  все расстояния между вершинами различны.
  а) Назовём вершину неинтересной, если самая близкая к ней вершина – соседняя с ней. Каково наименьшее возможное количество неинтересных вершин (при данном n)?
  б) Назовём вершину необычной, если самая дальняя от неё вершина – соседняя с ней. Каково наибольшее возможное количество необычных вершин (при данном n)?

Прислать комментарий     Решение

Задача 65796  (#8)

Темы:   [ Пятиугольники ]
[ Вписанные и описанные многоугольники ]
[ Связь величины угла с длиной дуги и хорды ]
Сложность: 3
Классы: 8,9

Пятиугольник ABCDE вписан в окружность, причём  ∠B + ∠E = ∠C + ∠D.  Докажите, что  ∠CAD < π/3 < ∠A.

Прислать комментарий     Решение

Задача 65797  (#9)

Темы:   [ Три прямые, пересекающиеся в одной точке ]
[ Средние пропорциональные в прямоугольном треугольнике ]
[ Вписанные и описанные окружности ]
[ Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках ]
Сложность: 3
Классы: 8,9

Автор: Панов М.Ю.

В прямоугольном треугольнике ABC из вершины прямого угла C опущена высота CH. В треугольники ACH и BCH вписали окружности; O1 и O2 – их центры; P1 и P2 – их точки касания с AC и BC. Докажите, что прямые O1P1 и O2P2 пересекаются на AB.

Прислать комментарий     Решение

Задача 65798  (#10)

Темы:   [ Вписанные и описанные окружности ]
[ ГМТ - прямая или отрезок ]
[ Вспомогательные подобные треугольники ]
[ Теорема о длинах касательной и секущей; произведение всей секущей на ее внешнюю часть ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9,10

По стороне AB треугольника ABC движется точка X, а по описанной окружности Ω – точка Y так, что прямая XY проходит через середину дуги AB. Найдите геометрическое место центров описанных окружностей треугольников IXY, где I – центр вписанной окружности треугольника ABC.

Прислать комментарий     Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 >> [Всего задач: 24]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .