Каталог по источникам

Задачи

Страница: << 1 2 3 4 5 6 >> [Всего задач: 29]

Задача 66554 (#5)

Темы:	[	Трапеции	]
Темы:	[	Замечательное свойство трапеции	]

Сложность: 5
Классы: 8

Автор: Доледенок А.В.

Дана трапеция ABCD с основаниями AD и BC. Перпендикуляр, опущенный из точки A на сторону CD, проходит через середину диагонали BD, а перпендикуляр, опущенный из точки D на сторону AB, проходит через середину диагонали AC. Докажите, что трапеция равнобокая.

Прислать комментарий Решение

Задача 66560 (#5)

Темы:	[	Разбиения на пары и группы; биекции	]
	[	Индукция (прочее)	]
	[	Комбинаторика (прочее)	]

Сложность: 4
Классы: 8,9,10

Автор: Погудин Г.А.

К Ивану на день рождения пришли $3 n$ гостей. У Ивана есть $3 n$ цилиндров с написанными сверху буквами А, Б и В, по $n$ штук каждого типа. Иван хочет устроить бал: надеть на гостей цилиндры и выстроить их в хороводы (один или больше) так, чтобы длина каждого хоровода делилась на $3$ , а при взгляде на любой хоровод сверху читалось бы по часовой стрелке АБВАБВ...АБВ. Докажите, что Иван может устроить бал ровно $(3n)!$ различными способами. (Цилиндры с одинаковыми буквами неразличимы; все гости различны.)

Прислать комментарий Решение

Задача 66566 (#5)

Темы:	[	Полуинварианты	]
Темы:	[	Теория чисел. Делимость (прочее)	]

Сложность: 4
Классы: 9,10,11

Автор: Грибалко А.В.

На доске написаны $1000$ последовательных целых чисел. За ход можно разбить написанные числа на пары произвольным образом и каждую пару чисел заменить на их сумму и разность (не обязательно вычитать из большего меньшее; все замены происходят одновременно). Докажите, что на доске больше никогда не появятся $1000$ последовательных целых чисел.

Прислать комментарий Решение

Задача 66572 (#5)

Темы:	[	Стереометрия (прочее)	]
	[	Достроение тетраэдра до параллелепипеда	]
	[	Сечения, развертки и остовы (прочее)	]

Сложность: 4
Классы: 9,10,11

Автор: Евдокимов М.А.

Существует ли тетраэдр, в сечениях которого двумя разными плоскостями получаются квадраты $100\times100$ и $1\times1$ ?

Прислать комментарий Решение

Задача 66578 (#5)

Тема:

[

Рациональные и иррациональные числа

]

Сложность: 5
Классы: 10,11

Автор: Бородин П.А.

Кузнечик прыгает по числовой прямой, на которой отмечены точки $-a$ и $b$ . Известно, что $a$ и $b$ — положительные числа, а их отношение иррационально. Если кузнечик находится в точке, которая ближе к $-a$ , то он прыгает вправо на расстояние, равное $a$ . Если же он находится в середине отрезка $[-a;b]$ или в точке, которая ближе к $b$ , то он прыгает влево на расстояние, равное $b$ . Докажите, что независимо от своего начального положения кузнечик в некоторый момент окажется от точки 0 на расстоянии, меньшем $10^{-6}$ .

Прислать комментарий Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 6 >> [Всего задач: 29]