ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Задачи

Страница: << 1 2 3 4 5 [Всего задач: 23]      



Задача 67053

Темы:   [ Целая и дробная части. Принцип Архимеда ]
[ Алгебраические неравенства (прочее) ]
Сложность: 6
Классы: 8,9,10,11

Автор: Дидин М.

Пусть $\lfloor x\rfloor$ обозначает целую часть числа $x$ (то есть наибольшее целое число, не превосходящее $x$). Докажите для любых натуральных чисел $a_1,a_2,\ldots,a_n$ неравенство $$ \bigg\lfloor\frac{a_1^2}{a_2}\bigg\rfloor+ \bigg\lfloor\frac{a_2^2}{a_3}\bigg\rfloor+ \ldots+ \bigg\lfloor\frac{a_n^2}{a_1}\bigg\rfloor\geqslant a_1+a_2+\ldots+a_n. $$
Прислать комментарий     Решение


Задача 67054

Темы:   [ Четность и нечетность ]
[ Теория игр (прочее) ]
Сложность: 6
Классы: 8,9,10,11

На столе в ряд лежат 20 плюшек с сахаром и 20 с корицей в произвольном порядке. Малыш и Карлсон берут их по очереди, начинает Малыш. За ход можно взять одну плюшку с любого края. Малыш хочет, чтобы ему в итоге досталось по десять плюшек каждого вида, а Карлсон пытается ему помешать. При любом ли начальном расположении плюшек Малыш может достичь своей цели, как бы ни действовал Карлсон?
Прислать комментарий     Решение


Задача 67061

Темы:   [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]
[ Площадь. Одна фигура лежит внутри другой ]
Сложность: 6
Классы: 9,10,11

Клетчатый квадрат 2×2 накрыт двумя треугольниками. Обязательно ли
а) хоть одна из четырёх его клеток целиком накрыта одним из этих треугольников;
б) в один из этих треугольников можно поместить квадрат со стороной 1?
Прислать комментарий     Решение


Страница: << 1 2 3 4 5 [Всего задач: 23]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .