ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Задачи

Страница: << 2 3 4 5 6 7 8 >> [Всего задач: 49]      



Задача 67055

Тема:   [ Логика и теория множеств (прочее) ]
Сложность: 4
Классы: 9,10,11

Мудрецам A,B,C,D сообщили, что числа 1,2,...,12 написаны по одному на 12 карточках и что эти карточки будут розданы им по три, причём каждый увидит лишь свои карточки. После раздачи мудрецы по очереди сказали следующее.

A: «На одной из моих карточек — число 8».
B: «Все числа на моих карточках простые».
C: «А все числа на моих — составные, причём имеют общий простой делитель».
D: «Тогда я знаю, какие карточки у каждого из вас».

Какие карточки у A, если все сказали правду?
Прислать комментарий     Решение


Задача 67065

Темы:   [ Таблицы и турниры (прочее) ]
[ Разбиения на пары и группы; биекции ]
[ Теория алгоритмов (прочее) ]
Сложность: 4
Классы: 8,9,10

В белом клетчатом квадрате $100 \times 100$ закрашено чёрным несколько клеток (не обязательно соседних). В каждой горизонтали или вертикали, где есть чёрные клетки, их количество нечётно, так что одна из клеток – средняя по счёту. Все чёрные клетки, средние по горизонтали, стоят в разных вертикалях. Все чёрные клетки, средние по вертикали, стоят в разных горизонталях.

а) Докажите, что найдётся клетка, средняя и по горизонтали, и по вертикали.

б) Обязательно ли каждая клетка, средняя по горизонтали – средняя и по вертикали?
Прислать комментарий     Решение


Задача 67066

Темы:   [ Замощения костями домино и плитками ]
[ Арифметика остатков (прочее) ]
Сложность: 4
Классы: 7,8,9,10

Автор: Глебов А.

Прямоугольник $1 \times 3$ будем называть триминошкой. Петя и Вася независимо друг от друга разбивают доску $20 \times 21$ на триминошки. Затем они сравнивают полученные разбиения, и Петя платит Васе столько рублей, сколько триминошек в этих двух разбиениях совпали (оказались на одинаковых позициях). Какую наибольшую сумму выигрыша может гарантировать себе Вася независимо от действий Пети?
Прислать комментарий     Решение


Задача 67072

Темы:   [ Четырехугольники (прочее) ]
[ Разрезания на части, обладающие специальными свойствами ]
Сложность: 4
Классы: 8,9,10,11

Автор: Юран А.Ю.

Докажите, что из любого выпуклого четырёхугольника можно вырезать три его копии вдвое меньшего размера.
Прислать комментарий     Решение


Задача 67075

Тема:   [ Поворот на $90^\circ$ ]
Сложность: 4
Классы: 8,9,10

На диагонали $AC$ квадрата $ABCD$ взята точка $P$. Пусть $H$ – точка пересечения высот треугольника $APD$, $M$ – середина $AD$ и $N$ – середина $CD$. Докажите, что прямые $PN$ и $MH$ взаимно перпендикулярны.
Прислать комментарий     Решение


Страница: << 2 3 4 5 6 7 8 >> [Всего задач: 49]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .