Страница:
<< 2 3 4 5
6 7 8 >> [Всего задач: 49]
|
|
Сложность: 4 Классы: 9,10,11
|
Мудрецам A,B,C,D сообщили, что числа 1,2,...,12 написаны по одному на 12 карточках и что эти карточки будут розданы им по три, причём каждый увидит лишь свои карточки. После раздачи мудрецы по очереди сказали следующее.
A: «На одной из моих карточек — число 8».
B: «Все числа на моих карточках простые».
C: «А все числа на моих — составные, причём имеют общий простой делитель».
D: «Тогда я знаю, какие карточки у каждого из вас».
Какие карточки у A, если все сказали правду?
|
|
Сложность: 4 Классы: 8,9,10
|
В белом клетчатом квадрате $100 \times 100$ закрашено чёрным несколько клеток (не обязательно соседних). В каждой горизонтали или вертикали, где есть чёрные клетки, их количество нечётно, так что одна из клеток – средняя по счёту. Все чёрные клетки, средние по горизонтали, стоят в разных вертикалях. Все чёрные клетки, средние по вертикали, стоят в разных горизонталях.
а) Докажите, что найдётся клетка, средняя и по горизонтали, и по вертикали.
б) Обязательно ли каждая клетка, средняя по горизонтали – средняя и по вертикали?
|
|
Сложность: 4 Классы: 7,8,9,10
|
Прямоугольник $1 \times 3$ будем называть
триминошкой. Петя и Вася независимо друг от друга разбивают доску $20 \times 21$ на триминошки. Затем они сравнивают полученные разбиения, и Петя платит Васе столько рублей, сколько триминошек в этих двух разбиениях совпали (оказались на одинаковых позициях). Какую наибольшую сумму выигрыша может гарантировать себе Вася независимо от действий Пети?
|
|
Сложность: 4 Классы: 8,9,10,11
|
Докажите, что из любого выпуклого четырёхугольника можно вырезать три его копии вдвое меньшего размера.
|
|
Сложность: 4 Классы: 8,9,10
|
На диагонали $AC$ квадрата $ABCD$ взята точка $P$. Пусть $H$ – точка пересечения высот треугольника $APD$, $M$ – середина $AD$ и $N$ – середина $CD$. Докажите, что прямые $PN$ и $MH$ взаимно перпендикулярны.
Страница:
<< 2 3 4 5
6 7 8 >> [Всего задач: 49]