Каталог по источникам

Задачи

Страница: << 4 5 6 7 8 9 10 >> [Всего задач: 48]

Задача 67553 (#8.7)

Темы:	[	Две касательные, проведенные из одной точки	]
	[	Общая касательная к двум окружностям	]
	[	Симметрия помогает решить задачу	]

Сложность: 4
Классы: 8,9,10,11

Автор: Бельский К.

Правильный треугольник $ABC$ вписан в окружность $\Omega$. Окружности $\Omega_A$, $\Omega_B$, $\Omega_C$ с центрами $A$, $B$, $C$ соответственно проходят через точку $P$, лежащую на $\Omega$, и касаются одной прямой. Докажите, что существует прямая, касающаяся двух из этих окружностей и проходящая через вершину треугольника $ABC$.

Прислать комментарий Решение

Задача 67554 (#8.8)

Темы:	[	Построения одной линейкой	]
	[	Конкуррентность высот. Углы между высотами.	]
	[	Две касательные, проведенные из одной точки	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9,10,11

Автор: Блинков А.Д.

Из бумаги вырезан выпуклый пятиугольник $ABCDE$, в котором $AB=AE$, $\angle A=\angle B=\angle E=90^{\circ}$, $BC=3$, $CD=5$, $DE=2$. Постройте перпендикуляр из $A$ на прямую $CD$, пользуясь только линейкой и проведя не более шести линий. Линии можно проводить только внутри пятиугольника.

Прислать комментарий Решение

Задача 67555 (#9.1)

Темы:	[	Прямая Эйлера и окружность девяти точек	]
	[	Касающиеся окружности	]
	[	Угол между касательной и хордой	]

Сложность: 4-
Классы: 8,9,10,11

Автор: Щербатов Я.

Высоты $AA_1$, $BB_1$ треугольника $ABC$ пересекаются в точке $H$. Точки $A'$, $B'$ симметричны $A$, $B$ относительно $BB_1$, $AA_1$ соответственно. Докажите, что окружности девяти точек треугольников $A'B'C$ и $A'B'H$ касаются.

Прислать комментарий Решение

Задача 67556 (#9.2)

Темы:	[	Системы отрезков, прямых и окружностей	]
	[	Точка Микеля	]
	[	Инверсия помогает решить задачу	]

Сложность: 5-
Классы: 9,10,11

Автор: Нилов Ф.

На плоскости отметили несколько точек и раскрасили их в четыре цвета так, что никакие три разноцветные точки не лежат на одной прямой и на любой окружности, проходящей через точки трех разных цветов, лежит еще ровно одна отмеченная точка, окрашенная в четвертый цвет. Обязательно ли все отмеченные точки лежат на одной окружности?

Прислать комментарий Решение

Задача 67557 (#9.3)

Темы:	[	Прямая Симсона	]
	[	Прямая Гаусса	]
	[	Подерный (педальный) треугольник	]
	[	Точка Микеля	]
	[	Гомотетия помогает решить задачу	]

Сложность: 6-
Классы: 9,10,11

Автор: Емельянов Л.А.

Дан треугольник $ABC$. Прямая $m_1$ пересекает прямые $BC$, $CA$, $AB$ в точках $A_1, B_1, C_1$ соответственно, а прямая $m_2$ пересекает прямые $BC$, $CA$, $AB$ в точках $A_2, B_2, C_2$, при этом $A_1$ и $A_2$ симметричны относительно середины $BC$, $B_1$ и $B_2$ симметричны относительно середины $CA$, $C_1$ и $C_2$ симметричны относительно середины $AB$. Докажите, что $m_1\perp m_2$ тогда и только тогда, когда $m_1$ и $m_2$ являются для треугольника $ABC$ прямыми Симсона (для некоторых точек окружности $ABC$).

Прислать комментарий Решение

Страница: << 4 5 6 7 8 9 10 >> [Всего задач: 48]