Каталог по источникам

Задачи

Страница: << 4 5 6 7 8 9 10 >> [Всего задач: 48]

Задача 67558 (#9.4)

Темы:	[	Теорема Паскаля	]
	[	Изогональное сопряжение	]
	[	Прямая Эйлера и окружность девяти точек	]
	[	Подерный (педальный) треугольник	]
	[	Гомотетия помогает решить задачу	]

Сложность: 6
Классы: 9,10,11

Автор: Волокитин Е.

Во вписанном четырехугольнике $ABCD$ через ортоцентр $H$ треугольника $ABC$ проведены прямые, параллельные $BD$ и $CD$ и пересекающие $AC$ и $AB$ соответственно в точках $E$ и $F$. Докажите, что прямая $EF$ делит отрезок $DH$ пополам.

Прислать комментарий Решение

Задача 67559 (#9.5)

Темы:	[	Ортоцентр и ортотреугольник	]
	[	Неравенства с описанными, вписанными и вневписанными окружностями	]
	[	Вспомогательные подобные треугольники	]

Сложность: 3+
Классы: 9,10,11

Автор: Михайлов И.

В треугольнике $ABC$ $BE$ и $CF$ – высоты, внутренние биссектрисы углов $B$ и $C$ пересекаются в точке $I$, а внешние в точке $J$. Докажите, что $IJ > EF$.

Прислать комментарий Решение

Задача 67560 (#9.6)

Тема:

[

Применение проективных преобразований, сохраняющих окружность

]

Сложность: 6-
Классы: 9,10,11

Автор: Бродский Д.Ю.

Треугольник $ABC$ вписан в окружность $\omega$. Касательные к $\omega$, проведенные в точках $B$ и $C$, пересекаются в точке $S$. Отрезки $AS$ и $BC$ пересекаются в точке $P$. Биссектрисы (как лучи) углов $APC$ и $SPC$ пересекают $\omega$ в точках $X$ и $Y$. Докажите, что точки $X$, $Y$ и $S$ лежат на одной прямой.

Прислать комментарий Решение

Задача 67561 (#9.7)

Темы:	[	ГМТ - прямая или отрезок	]
	[	Окружность Аполлония	]
	[	Четыре точки, лежащие на одной окружности	]

Сложность: 5-
Классы: 9,10,11

Авторы: Штейнберг Н., Науменя А.

Дан треугольник $ABC$. На серединном перпендикуляре к отрезку $BC$ вне треугольника выбирается переменная точка $D$. Прямые $BD$ и $AC$ пересекаются в точке $C'$, а прямые $CD$ и $AB$ – в точке $B'$. Пусть $M_a$ – середина $BC$, $M$ – вторая точка пересечения окружностей $(BB'D)$ и $(CC'D)$. Докажите, что центр окружности $DMM_a$ лежит на фиксированной прямой.

Прислать комментарий Решение

Задача 67562 (#9.8)

Темы:	[	Четырехугольники (построения)	]
	[	Вписанные четырехугольники (прочее)	]
	[	Описанные четырехугольники	]
	[	Проективная геометрия (прочее)	]

Сложность: 5
Классы: 9,10,11

Автор: Арутюнян С.

Восстановите вписанно-описанный четырехугольник $ABCD$ по центру $I$ вписанной окружности, точке $E$ пересечения касательных к описанной окружности в точках $A$, $C$ и точке $F$ пересечения касательных к описанной окружности в точках $B$, $D$.

Прислать комментарий Решение

Страница: << 4 5 6 7 8 9 10 >> [Всего задач: 48]