Каталог по источникам

Задачи

Страница: << 2 3 4 5 6 7 8 >> [Всего задач: 48]

Задача 67543 (#21 [10-11 кл])

Темы:	[	Изогональное сопряжение	]
Темы:	[	Теоремы Чевы и Менелая	]

Сложность: 5-
Классы: 9,10,11

Автор: Галяпин Г.

Внутри четырёхугольника $ABCD$ отметили точку $P$ такую, что $\angle APB + \angle CPD = 180^\circ$. Точки $P_a$, $P_b$, $P_c$, $P_d$ изогонально сопряжены $P$ в треугольниках $BCD$, $CDA$, $DAB$, $ABC$. Докажите, что точки пересечения диагоналей четырёхугольников $ABCD$ и $P_aP_bP_cP_d$ совпадают.

Прислать комментарий Решение

Задача 67544 (#22 [10-11 кл])

Темы:	[	Кривые второго порядка	]
	[	Построения с помощью вычислений	]
	[	Проективная геометрия (прочее)	]
	[	Теорема косинусов	]

Сложность: 5
Классы: 10,11

Автор: Заславский А.А.

Даны окружность и лежащий внутри нее эллипс с фокусами $F_1$, $F_2$. Постройте хорду окружности $AB$, касающуюся эллипса и такую, что четырехугольник $AF_1F_2B$ – вписанный.

Прислать комментарий Решение

Задача 67545 (#23 [10-11 кл])

Темы:	[	Комбинаторная геометрия (прочее)	]
Темы:	[	Примеры и контрпримеры. Конструкции	]

Сложность: 4-
Классы: 8,9,10,11

Автор: Спивак Н.

Будем говорить, что множество $M$ точек плоскости содержит дыру, если существует круг, не содержащийся в $M$, но содержащийся внутри многоугольника, граница которого лежит в $M$. Можно ли представить плоскость в виде объединения $n$ таких выпуклых множеств, что объединение любых $n - 1$ из них имеет дыры?

Прислать комментарий Решение

Задача 67546 (#24 [11 кл])

Темы:	[	Сфера, вписанная в тетраэдр	]
	[	Неравенство треугольника (прочее)	]
	[	Площадь треугольника (через две стороны и угол между ними)	]

Сложность: 4
Классы: 10,11

Автор: Арутюнян С.

Сфера, вписанная в тетраэдр $ABCD$, касается граней $ABC$, $BCD$, $CDA$, $DAB$ в точках $D'$, $A'$, $B'$, $C'$ соответственно. Обозначим через $S_{AB}$ площадь треугольника $AC'B$. Аналогично определим $S_{AC}$, $S_{BC}$, $S_{AD}$, $S_{BD}$, $S_{CD}$. Докажите, что из отрезков с длинами $\sqrt{S_{AB}S_{CD}}$, $\sqrt{S_{AC}S_{BD}}$, $\sqrt{S_{AD}S_{BC}}$ можно составить треугольник.

Прислать комментарий Решение

Задача 67547 (#8.1)

Темы:	[	Произведение длин отрезков хорд и длин отрезков секущих	]
Темы:	[	Средняя линия треугольника	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9,10,11

Авторы: Кухарчук И., Галахова Е.

Дан вписанный пятиугольник $ABCDE$. Диагонали $AC$ и $CE$ равны и пересекают диагональ $BD$ в точках $M$ и $N$ соответственно. Известно, что $BM=ND$, $BC\not=CD$. Докажите, что точка, симметричная $C$ относительно середины $BD$, лежит на прямой $AE$.

Прислать комментарий Решение

Страница: << 2 3 4 5 6 7 8 >> [Всего задач: 48]