Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 48]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 67528  (#6 [8-9 кл])

Темы:   [ Радиусы вписанной, описанной и вневписанной окружности (прочее) ] [ Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках ] [ Тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10,11

Докажите, что если у треугольника одна из сторон его треугольника Нагеля параллельна одной из биссектрис, то ещё одна из сторон треугольника Нагеля параллельна другой биссектрисе.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 67529  (#7 [8-9 кл])

Темы:   [ Проективная геометрия (прочее) ] [ Три прямые, пересекающиеся в одной точке ]

Сложность: 5 Классы: 8,9,10,11

Точки $I$, $I_a$ являются центром вписанной и $A$-вневписанной окружности треугольника $ABC$; вписанная окружность касается сторон $AC$, $AB$ в точках $E$, $F$; $G$ – точка пересечения $BE$ и $CF$. Перпендикуляр к $BC$, проходящий через точку $G$, пересекает $AI$ в точке $J$. Докажите, что $E$, $F$, $J$, $I_a$ лежат на одной окружности.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 67530  (#8 [8-9 кл])

Темы:   [ Центр масс ] [ Радикальная ось ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10,11

Во вписанном четырехугольнике $ABCD$ с точкой пересечения диагоналей $P$ на отрезках $AC$, $BD$ отмечены точки $K$ и $L$ соответственно. При этом $CK = AP$ и $DL = BP$. Докажите, что прямая, проходящая через точки пересечения окружностей $ALC$ и $BKD$, содержит центр масс четырехугольника $ABCD$.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 67531  (#9 [8-9 кл])

Темы:   [ Ортоцентр и ортотреугольник ] [ Отрезки, заключенные между параллельными прямыми ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10,11

Прямая $\ell$, проходящая через ортоцентр $H$ треугольника $ABC$ ($BC > AB$) и параллельная $AC$, пересекает стороны $AB$ и $BC$ в точках $D$ и $E$ соответственно. Прямая, проходящая через центр описанной окружности этого треугольника и параллельная его медиане $BM$, пересекает прямую $\ell$ в точке $F$. Докажите, что длина отрезка $HF$ втрое больше разности отрезков $FE$ и $DH$.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 67532  (#10 [8-9 кл])

Темы:   [ Необычные построения (прочее) ] [ Теорема Пифагора (прямая и обратная) ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10,11

Из бумаги вырезан остроугольный треугольник, одна из сторон которого равна опущенной на нее высоте. Постройте внутри треугольника точку, квадрат расстояния от которой до одной из вершин треугольника равен сумме квадратов расстояний до двух других. Никаких инструментов нет, можно только сгибать бумагу и отмечать точки пересечения линий сгиба.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 48]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями