Loading [Contrib]/a11y/accessibility-menu.js
ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Выбрано 5 задач
Версия для печати
Убрать все задачи

Найдите сумму квадратов расстояний от вершин правильного n-угольника, вписанного в окружность радиуса R, до произвольной прямой, проходящей через центр многоугольника.

Вниз   Решение


Предположим, что цепные дроби   сходятся. Согласно задаче 61330, они будут сходиться к корням многочлена  x² – px + q = 0.  С другой стороны к тем же корням будут сходиться и последовательности, построенные по методу Ньютона (см. задачу 61328):   xn+1 = xn = .  Докажите, что если x0 совпадает с нулевой подходящей дробью цепной дроби α или β, то числа x1, x2, ... также будут совпадать с подходящими дробями к α или β.

ВверхВниз   Решение


В прямоугольном треугольнике ABC проведена высота CK из вершины прямого угла C, а в треугольнике ACK – биссектриса CE. Докажите, что  CB = BE.

ВверхВниз   Решение


Пусть многочлен  P(x) = xn + an–1xn–1 + ... + a1x + a0  имеет корни  x1, x2, ..., xn,  причем  |x1| > |x2| > ... > |xn|.  В задаче  60965 был предъявлен способ построения многочлена Q(x) степени n, корнями которого являются числа     На основе этого рассуждения Лобачевский придумал метод для приближенного поиска корней многочлена P(x). Он заключается в следующем. Строится такая последовательность многочленов  P0(x), P1(x), P2(x), ...,  что  P0(x) = P(x)  и многочлен Pk(x) имеет корни     Пусть     Докажите, что

  а)  

  б)  

ВверхВниз   Решение


Докажите, что  
Числа Pkl(n) определены в задаче 61525.

Вверх   Решение

Задачи

Страница: << 25 26 27 28 29 30 31 >> [Всего задач: 306]      



Задача 52413

Темы:   [ Отношение площадей подобных треугольников ]
[ Вписанный угол, опирающийся на диаметр ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9

Отрезок AB есть диаметр круга, а точка C лежит вне этого круга. Отрезки AC и BC пересекаются с окружностью в точках D и M соответственно. Найдите угол CBD, если площади треугольников DCM и ACB относятся как 1:4.

Прислать комментарий     Решение


Задача 53058

Темы:   [ Теорема о длинах касательной и секущей; произведение всей секущей на ее внешнюю часть ]
[ Вписанный угол, опирающийся на диаметр ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9

Окружность, диаметр которой равен $ \sqrt{10}$, проходит через соседние вершины A и B прямоугольника ABCD. Длина касательной, проведённой из точки C к окружности, равна 3, AB = 1. Найдите все возможные значения, которые может принимать длина стороны BC.

Прислать комментарий     Решение


Задача 53656

Темы:   [ Угол между касательной и хордой ]
[ Вписанный угол, опирающийся на диаметр ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9

В квадрате ABCD из точки D как из центра проведена внутри квадрата дуга через вершины A и C. На AD как на диаметре построена внутри квадрата полуокружность. Отрезок прямой, соединяющей произвольную точку P дуги AC с точкой D, пересекает полуокружность AD в точке K. Докажите, что длина отрезка PK равна расстоянию от точки P до стороны AB.

Прислать комментарий     Решение


Задача 53715

Темы:   [ Пересекающиеся окружности ]
[ Вписанный угол, опирающийся на диаметр ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9

Через одну из точек пересечения двух равных окружностей проведена общая секущая. Докажите, что отрезок этой секущей, заключённый между окружностями, делится пополам окружностью, построенной на общей хорде этих окружностей как на диаметре.

Прислать комментарий     Решение


Задача 115446

Темы:   [ Куб ]
[ Вписанный угол, опирающийся на диаметр ]
[ Теорема о трех перпендикулярах ]
[ Расстояние между двумя точками. Уравнение сферы ]
[ Теорема Пифагора в пространстве ]
Сложность: 4-
Классы: 10,11

Укажите точки на поверхности куба, из которых диагональ куба видна под наименьшим углом.
Прислать комментарий     Решение


Страница: << 25 26 27 28 29 30 31 >> [Всего задач: 306]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .