Из двух точек прямой проведены по две касательные к окружности. В образованные углы с вершинами в этих точках вписаны окружности равного радиуса. Докажите, что их линия центров параллельна данной прямой.

   Решение

Точка M находится на продолжении хорды AB. Докажите, что если точка C окружности такова, что MC² = MA ^. MB, то MC — касательная к окружности.

   Решение

Имеется полоска 1×99, разбитая на 99 клеток 1×1, которые раскрашены через одну в чёрный и белый цвет. Разрешается перекрашивать одновременно все клетки любого клетчатого прямоугольника 1×k. За какое наименьшее число перекрашиваний можно сделать всю полоску одноцветной?

   Решение

Из середины гипотенузы восставлен перпендикуляр до пересечения с катетом, и полученная точка соединена с концом другого катета отрезком, который делит угол треугольника в отношении  2 : 5  (меньшая часть – при гипотенузе). Найдите этот угол.

   Решение

Докажите, что при любом натуральном n  

   Решение

Решите уравнение   1 + 1 : (1 + 1 : (1 + 1 : (x + 2016))) = (1,2)².

   Решение

Петя покрасил 100 натуральных чисел в красный цвет и 100 других натуральных чисел — в синий. Вася выписал на доску 200 выражений: для каждого красного числа $n$ записал $\frac{x^n}{1-x}$, а для каждого синего числа $m$ записал $\frac{x^m}{1-x^{-1}}.$ После этого мальчики сложили все записанные выражения, привели подобные и упростили выражение. Докажите, что у них получился многочлен от $x$.

   Решение

Решить систему уравнений:
   x₁ + x₂ + x₃ = 6,
   x₂ + x₃ + x₄ = 9,
   x₃ + x₄ + x₅ = 3,
   x₄ + x₅ + x₆ = –3,
   x₅ + x₆ + x₇ = –9,
   x₆ + x₇ + x₈ = –6,
   x₇ + x₈ + x₁ = –2,
   x₈ + x₁ + x₂ = 2.

   Решение

Две окружности пересекаются в точках A и B. Через точку A проведена секущая, вторично пересекающаяся с окружностями в точках P и Q. Какую линию описывает середина отрезка PQ, когда секущая вращается вокруг точки A?

   Решение

Страница: << 11 12 13 14 15 16 17 >> [Всего задач: 293]      

В трапеции ABCD диагонали AC и DB взаимно перпендикулярны,  ∠ABD = ∠ACD.  На продолжениях боковых сторон AB и DC за большее основание AD отложены отрезки AM и DN так, что получается новая трапеция MADN, подобная трапеции ABCD. Найдите площадь трапеции MBCN, если площадь трапеции ABCD равна S, а сумма углов при большем основании равна 150°.

Прислать комментарий

Решение

Около окружности описана равнобедренная трапеция. Боковая сторона трапеции равна a, отрезок, соединяющий точки касания боковых сторон с окружностью, равен b. Найдите диаметр окружности.

Прислать комментарий

Решение

В равнобедренной трапеции ABCD  AB = CD = 3,  основание  AD = 7,  ∠BAD = 60°.  На диагонали BD расположена точка M так, что  BM : MD = 3 : 5.
Какую из сторон трапеции: BC или CD пересекает продолжение отрезка AM?

Прислать комментарий

Решение

В равнобедренной трапеции ABCD боковая сторона равна 10, большее основание 24, а высота 8.
Определите, что пересекает биссектриса острого угла трапеции: меньшее основание или его продолжение?

Прислать комментарий

Решение

Диагонали равнобедренной трапеции взаимно перпендикулярны. Докажите, что средняя линия трапеции равна высоте.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 11 12 13 14 15 16 17 >> [Всего задач: 293]