Страница:
<< 1 2
3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 49]
|
|
|
Сложность: 3+
Классы: 7,8,9
|
Правильный треугольник разбит прямыми, параллельными его сторонам, на равные
между собой правильные треугольники. Один из маленьких треугольников чёрный,
остальные – белые. Разрешается перекрашивать одновременно все треугольники,
пересекаемые прямой, параллельной любой стороне исходного треугольника. Всегда ли можно с помощью нескольких таких перекрашиваний добиться того, чтобы все маленькие треугольники стали белыми?
|
|
|
Сложность: 3+
Классы: 9,10,11
|
На бумаге "в клеточку" нарисован выпуклый многоугольник M, так что все его вершины находятся в вершинах клеток и ни одна из его сторон не идёт по вертикали или горизонтали. Докажите, что сумма длин вертикальных отрезков линий сетки, заключённых внутри M, равна сумме длин горизонтальных отрезков линий сетки внутри M.
|
|
|
Сложность: 3+
Классы: 8,9,10
|
Правильный шестиугольник со стороной 5 разбит прямыми, параллельными его сторонам, на правильные треугольники со стороной 1 (см. рис.).
Назовём узлами вершины всех таких треугольников. Известно, что более половины узлов отмечено. Докажите, что найдутся пять отмеченных узлов, лежащих на одной окружности.
|
|
|
Сложность: 3+
Классы: 8,9,10
|
Существует ли треугольник с вершинами в узлах сетки, у которого центры вписанной и описанной окружностей, точки пересечения высот и медиан также лежат в узлах сетки?
Точки A1 и C1 расположены на сторонах BC и AB треугольника ABC. Отрезки AA1 и CC1 пересекаются в точке M.
В каком отношении прямая BM делит сторону AC, если AC1 : C1B = 2 : 3 и BA1 : A1C = 1 : 2?
Страница:
<< 1 2
3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 49]
Фильтр
