Страница:
<< 4 5 6 7
8 9 10 >> [Всего задач: 69]
|
|
Сложность: 5 Классы: 8,9,10
|
На отрезке длиной 1 закрашено несколько отрезков,
причем расстояние между любыми двумя закрашенными
точками не равно 0, 1. Докажите, что сумма длин закрашенных
отрезков не превосходит 0, 5.
|
|
Сложность: 5 Классы: 10,11
|
Дан треугольник ABC и точки P и Q. Известно, что треугольники, образованные проекциями P и Q на стороны ABC, подобны (соответствуют друг другу вершины, лежащие на одних и тех же сторонах исходного треугольника). Докажите, что прямая PQ проходит через центр описанной окружности треугольника ABC.
|
|
Сложность: 5+ Классы: 9,10,11
|
На стороне
AB треугольника
ABC выбрана точка
D .
Окружность, описанная около треугольника
BCD , пересекает
сторону
AC в точке
M , а окружность, описанная около
треугольника
ACD , пересекает сторону
BC в точке
N
(точки
M и
N отличны от точки
C ). Пусть
O – центр
описанной окружности треугольника
CMN . Докажите, что
прямая
OD перпендикулярна стороне
AB .
Проекции точки X на стороны четырёхугольника ABCD лежат на одной окружности. Y – точка, симметричная X относительно центра этой окружности. Докажите, что проекции точки B на прямые AX, XC, CY, YA также лежат на одной окружности.
|
|
Сложность: 6+ Классы: 9,10,11
|
На плоскости даны два таких конечных набора
P1 и
P2 выпуклых многоугольников,
что любые два многоугольника из разных наборов имеют общую точку и в
каждом из двух наборов
P1 и
P2 есть пара непересекающихся
многоугольников. Докажите, что существует прямая, пересекающая все
многоугольники обоих наборов.
Страница:
<< 4 5 6 7
8 9 10 >> [Всего задач: 69]