Страница:
<< 11 12 13 14
15 16 17 >> [Всего задач: 151]
|
|
|
Сложность: 3+
Классы: 8,9,10
|
Существуют ли такие целые числа
a и
b, что
а) уравнение
x² +
ax + b = 0 не имеет корней, а уравнение [
x²] +
ax + b = 0 имеет?
б) уравнение
x² + 2
ax + b = 0 не имеет корней, а уравнение [
x²] + 2
ax + b = 0 имеет?
Решение
а) Уравнение x² – 3x + 3 = 0 не имеет корней, поскольку у него дискриминант отрицательный, а уравнение [x²] – 3x + 3 = 0 имеет корни x1 = 4/3,
x2 = 5/3.
б) Пусть функция f(x) = x² + 2ax = b = (x + a)² + b – a² не обращается в ноль. Тогда b – a² положительно, а потому не меньше 1 (a и b – целые). Значит, f(x) ≥ 1 при любом x. Замена x² целой частью уменьшает значение функции менее чем на 1, а потому оставляет её положительной.
Ответ
а) Существуют; б) не существуют.
|
|
|
Сложность: 3+
Классы: 10,11
|
Решить уравнение x³ – [x] = 3.
Решение
Пусть [x] = n и x = n + α, где 0 ≤ α < 1. Тогда x³ – x + α = 3, и из ограничений на α следует, что 2 < x³ – x ≤ 3.
Если x ≥ 2, то x(x² – 1) ≥ 2·3 = 6, поэтому неравенство x³ – x ≤ 3 не выполняется. Если x < –1, то x(x² – 1) < 0, поэтому неравенство 2 < x³ – x не выполняется.
Таким образом, –1 ≤ x < 2, то есть [x] = –1, 0 или 1. Соответственно получаем уравнения x³ + 1 = 3, x³ = 3, x³ – 1 = 3. Их решения:
x = 
, x = 
, x = 
. При этом [] ≠ –1, [] ≠ 0, а [] = 1.
Ответ
x = .
|
|
|
Сложность: 3+
Классы: 8,9,10
|
Число 4 обладает тем свойством, что при делении его на q² остаток получается меньше q²/2, каково бы ни было q.
Перечислить все числа, обладающие этим свойством.
Решение
Докажем сначала, что если n – натуральное число, отличное от 1 и 4, то n < [
]². Действительно, для чисел n ≤ 7 это утверждение легко проверяется, а если n ≥ 8, то n² ≥ 8n, поэтому n ≥ 2, а значит, []² ≥ ( – 1)² = 2n – 2 + 1 > n.
Пусть n – натуральное число, отличное от 1 и 4. Положим q = []. Тогда n < q², поэтому остаток от деления n на q² равен n. Но q = [] ≤ , поэтому n² ≥ q/2.
Ответ
1 и 4.
|
|
|
Сложность: 3+
Классы: 8,9,10
|
В ряд выписаны действительные числа a1, a2, a3, ..., a1996. Докажите, что можно выделить одно или несколько стоящих рядом чисел так, что их сумма будет отличаться от целого числа меньше, чем на 0,001.
Решение
Образуем числа b1 = {a1},
b2 = {a1 + a2}, b3 = {a1 + a2 + a3}, ..., b1996 = {a1 + a2 + a3 + ... + a1996}. Разделим отрезок [0, 1] на 1001 отрезочек длины 1/1001. Какие-то два из чисел b1, ..., b1996 окажутся на одном отрезочке (пусть это bi и bj, i < j). Это означает, что ai+1 + ... + aj отличается от целого числа не более чем на 1/1001 < 0,001.
|
|
|
Сложность: 3+
Классы: 8,9,10,11
|
Как известно, квадратное уравнение имеет не более двух корней. А может ли уравнение $[x^2] + px + q = 0$ при $p \ne 0$ иметь более 100 корней? ($[x^2]$ обозначает наибольшее целое число, не превосходящее $x^2$.)
Решение
Рассмотрим, например, уравнение $[x^2] - 100x + 2500 = 0$. Оно имеет 199 корней вида $50 +\frac{k}{100}$ (где $k = - 99$, $- 98, \ldots, 99$). Действительно, $$\left[\left(50 +\frac{k}{100}\right)^2\right]=\left[2500+k+\left(\frac{k}{100}\right)^2\right]=2500+k=100\cdot\left(50 +\frac{k}{100}\right)-2500.$$
Ответ
Может.
Страница:
<< 11 12 13 14
15 16 17 >> [Всего задач: 151]
Фильтр
