Каталог по темам

Задачи

Страница: << 29 30 31 32 33 34 35 >> [Всего задач: 512]

Задача 116170

Темы:	[	Вспомогательные подобные треугольники	]
	[	Параллельные прямые, свойства и признаки. Секущие	]
	[	Сумма углов треугольника. Теорема о внешнем угле.	]
	[	Тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике	]
	[	Замечательные точки и линии в треугольнике (прочее)	]

Сложность: 4
Классы: 8,9

Автор: Заславский А.А.

Дан треугольник ABC. Tочки A₁, B₁ и C₁ симметричны его вершинам относительно противоположных сторон. C₂ – точка пересечения прямых AB₁ и BA₁, точки A₂ и B₂ определяются аналогично. Докажите, что прямые A₁A₂, B₁B₂ и C₁C₂ параллельны.

Прислать комментарий

Решение

Задача 56506

Темы:	[	Вспомогательные подобные треугольники	]
	[	Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках	]
	[	Сумма внутренних и внешних углов многоугольника	]

Сложность: 4+
Классы: 8,9

На неравных сторонах AB и AC треугольника ABC внешним образом построены равнобедренные треугольники AC₁B и AB₁C с углом φ при вершине.
а) M – точка медианы AA₁ (или её продолжения), равноудаленная от точек B₁ и C₁. Докажите, что ∠B₁MC₁ = φ.
б) O – точка серединного перпендикуляра к отрезку BC, равноудаленная от точек B₁ и C₁. Докажите, что ∠B₁OC₁ = 180° – φ.

Прислать комментарий

Решение

Задача 57373

[Неравенство Птолемея]

Темы:	[	Вспомогательные подобные треугольники	]
	[	Четырехугольник (неравенства)	]
	[	Теорема Птолемея	]
	[	Неравенство треугольника (прочее)	]

Сложность: 4+
Классы: 8,9,10

Дан четырёхугольник ABCD. Докажите, что AC·BD ≤ AB·CD + BC·AD.

Прислать комментарий

Решение

Задача 108043

Темы:	[	Вспомогательные подобные треугольники	]
	[	Трапеции (прочее)	]
	[	Выход в пространство	]

Сложность: 4+
Классы: 8,9

Автор: Шарыгин И.Ф.

В трапеции ABCD AB – основание, AC = BC, H – середина AB. Пусть l – прямая, проходящая через точку H и пересекающая прямые AD и BD в точках P и Q соответственно. Докажите, что либо углы ACP и QCB равны, либо их сумма равна 180°.

Прислать комментарий

Решение

Задача 108155

Темы:	[	Вспомогательные подобные треугольники	]
	[	Четыре точки, лежащие на одной окружности	]
	[	Отношения линейных элементов подобных треугольников	]
	[	Вписанные четырехугольники (прочее)	]
	[	Вспомогательная окружность	]

Сложность: 4+
Классы: 8,9,10

Автор: Канель-Белов А.Я.

Окружность S₁, проходящая через вершины A и B треугольника ABC, пересекает сторону BC в точке D. Окружность S₂, проходящая через вершины B и C, пересекает сторону AB в точке E и окружность S₁ вторично в точке F. Оказалось, что точки A, E, D, C лежат на окружности S₃ с центром O. Докажите, что угол BFO – прямой.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 29 30 31 32 33 34 35 >> [Всего задач: 512]