Версия для печати
Убрать все задачи

---

Известно, что вруны всегда врут, правдивые всегда говорят правду, а хитрецы могут и врать, и говорить правду. Вы можете задавать вопросы, на которые есть ответ "да" или "нет" (например: "верно ли, что этот человек – хитрец?").
  a) Перед вами трое – врун, правдивый и хитрец, которые знают, кто из них кто. Как и вам это узнать?
  б) Перед вами четверо – врун, правдивый и два хитреца (все четверо знают, кто из них кто). Докажите, что хитрецы могут договориться отвечать так, что вы, спрашивая этих четверых, ни про кого из них не узнаете наверняка, кто он.

   Решение

---

  На плоскости даны три прямые l₁, l₂, l₃, образующие треугольник, и отмечена точка O – центр описанной окружности этого треугольника. Для произвольной точки X плоскости обозначим через X_i точку, симметричную точке X относительно прямой l_i,  i = 1, 2, 3.
  а) Докажите, что для произвольной точки M прямые, соединяющие середины отрезков O₁O₂ и M₁M₂, O₂O₃ и M₂M₃, O₃O₁ и M₃M₁, пересекаются в одной точке.
  б) Где может лежать эта точка пересечения?

   Решение

Страница: << 103 104 105 106 107 108 109 >> [Всего задач: 1371]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 109189

Темы:   [ Системы отрезков, прямых и окружностей ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ] [ Правильные многоугольники ] [ Принцип Дирихле (конечное число точек, прямых и т. д.) ] [ Правило произведения ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10,11

Попав в новую компанию, Чичиков узнавал, кто с кем знаком. А чтобы запомнить это, он рисовал окружность и изображал каждого члена компании хордой, причём хорды знакомых между собой пересекались, а незнакомых – нет. Чичиков уверен, что такой набор хорд есть для любой компании. Прав ли он? (Совпадение концов хорд считается пересечением.)

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 109197

Темы:   [ Разрезания на части, обладающие специальными свойствами ] [ Площадь сечения ] [ Объем помогает решить задачу ] [ Призма (прочее) ] [ Пирамида (прочее) ]

Сложность: 4- Классы: 10,11

Можно ли разбить какую-нибудь призму на непересекающиеся пирамиды, у каждой из которых основание лежит на одном из оснований призмы, а противоположная вершина – на другом основании призмы?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 109490

Темы:   [ Раскраски ] [ Четность и нечетность ] [ Теория графов (прочее) ] [ Пятиугольники ]

Сложность: 4- Классы: 7,8,9,10

Можно ли покрасить 15 отрезков, изображённых на рисунке, в три цвета так, чтобы никакие два отрезка одного цвета не имели общего конца?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 109583

Темы:   [ Геометрия на клетчатой бумаге ] [ Деление с остатком ] [ Подсчет двумя способами ] [ Разные задачи на разрезания ]

Сложность: 4- Классы: 7,8,9

Прямоугольник m×n разрезан на уголки:

Докажите, что разность между количеством уголков вида a и количеством уголков вида b делится на 3.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 109789

Темы:   [ Системы отрезков, прямых и окружностей ] [ Принцип крайнего (прочее) ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10,11

На прямой расположены 2k-1 белый и 2k-1 черный отрезок. Известно, что любой белый отрезок пересекается хотя бы с k черными, а любой черный – хотя бы с k белыми. Докажите, что найдутся черный отрезок, пересекающийся со всеми белыми, и белый отрезок, пересекающийся со всеми черными.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 103 104 105 106 107 108 109 >> [Всего задач: 1371]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями