Страница:
<< 100 101 102 103
104 105 106 >> [Всего задач: 1371]
|
|
|
Сложность: 4-
Классы: 8,9,10
|
Выпуклый n-угольник разрезан непересекающимися диагоналями на треугольники. Разрешается проделывать следующее преобразование (перестройку): взяв пару треугольников ABD и BCD с общей стороной, заменить их на треугольники ABC и ACD. Пусть P(n) – наименьшее число перестроек, за которое можно перевести каждое разбиение в любое. Докажите, что
а) P(n) ≥ n – 3;
б) P(n) ≤ 2n – 7;
в) P(n) ≤ 2n – 10 при n ≥ 13.
Выпуклые четырёхугольники ABCD и PQRS вырезаны соответственно из бумаги и картона. Будем говорить, что они подходят друг к другу, если выполняются два условия:
1) картонный четырёхугольник можно наложить на бумажный так, что его вершины попадут на стороны бумажного, по одной вершине на каждую сторону;
2) если после этого перегнуть четыре образовавшихся маленьких бумажных треугольника на картонный, то они закроют весь картонный четырёхугольник в один слой.
а) Докажите, что, если четырёхугольники подходят друг к другу, то у бумажного либо две противоположные стороны параллельны,
либо диагонали перпендикулярны.
б) Докажите, что если ABCD – параллелограмм, то можно сделать подходящий к нему картонный четырёхугольник.
|
|
|
Сложность: 4-
Классы: 8,9,10
|
На плоскости дано N прямых (N > 1), никакие три из которых не пересекаются в одной точке и никакие две не параллельны. Докажите, что в частях, на которые эти прямые разбивают плоскость, можно расставить ненулевые целые числа, по модулю не превосходящие N, так, что суммы чисел по любую сторону от любой из данных прямых равны нулю.
|
|
|
Сложность: 4-
Классы: 9,10
|
Плоскость разбита тремя сериями параллельных прямых на равные между собой
равносторонние треугольники.
Существуют ли четыре вершины этих треугольников, образующие квадрат?
|
|
|
Сложность: 4-
Классы: 10,11
|
Можно ли разрезать плоскость на многоугольники, каждый из которых переходит
в себя при повороте на 360°/7 вокруг некоторой точки и все стороны которых больше 1 см?
Страница:
<< 100 101 102 103
104 105 106 >> [Всего задач: 1371]
Фильтр
