Версия для печати
Убрать все задачи
Две окружности имеют радиусы
R1 и
R2, а расстояние
между их центрами равно
d. Докажите, что эти окружности
ортогональны тогда и только тогда, когда
d2 =
R12 +
R22.
Решение
Докажите, что при параллельном переносе окружность переходит
в окружность.
Решение
Окружность радиуса 1 нарисована на шахматной доске так, что целиком содержит внутри белую клетку (сторона клетки равна 1).
Докажите, что участки этой окружности, проходящие по белым клеткам, составляют суммарно не более трети её длины.
Решение
Люди заходят с улицы в метро равномерно. Пройдя через турникеты, они оказываются в небольшом зале перед эскалаторами. Двери на вход только что открылись, и сначала зал перед эскалаторами был пустой, а на спуск работал только один эскалатор. Один эскалатор не справлялся с толпой, так что за 6 минут зал наполовину заполнился. Тогда включили на спуск второй эскалатор, но толпа продолжала увеличиваться – ещё через 15 минут зал был полон.
За какое время зал опустеет, если включить третий эскалатор?
Решение
На плоскости нарисовано пять различных окружностей. Известно, что каждые четыре из них имеют общую точку.
Докажите, что все пять окружностей проходят через одну точку.
Решение
Торт упакован в коробку с квадратным основанием. Высота коробки вдвое меньше
стороны этого квадрата. Ленточкой длины 156 см можно перевязать коробку и сделать бантик сверху (как на рисунке слева). А чтобы перевязать её с точно таким же бантиком сбоку (как на рисунке справа), нужна ленточка длины 178 см. Найдите размеры коробки.
Решение
Докажите, что из точки
A, лежащей вне окружности,
можно провести ровно две касательные к окружности, причем
длины этих касательных (т. е. расстояния от
A до точек
касания) равны.
Решение
Две окружности пересекаются в точках
A и
B. Точка
X
лежит на прямой
AB, но не на отрезке
AB. Докажите,
что длины всех касательных, проведенных из точки
X к окружностям,
равны.
Решение
Полоска 1×10 разбита на единичные квадраты. В квадраты записывают числа 1, 2, ..., 10. Сначала в один какой-нибудь квадрат записывают число 1, затем число 2 записывают в один из соседних квадратов, затем число 3 – в один из соседних с уже занятыми и т. д. (произвольными являются выбор первого квадрата и выбор соседа на каждом шагу). Сколькими способами это можно проделать?
Решение
Фильтр
