Страница: << 66 67 68 69 70 71 72 >> [Всего задач: 499]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 52852

Темы:   [ Вспомогательная окружность ] [ Отрезок, видимый из двух точек под одним углом ] [ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ]

Сложность: 4+ Классы: 8,9

Из некоторой точки окружности, описанной около равностороннего треугольника ABC, проведены прямые, параллельные BC, CA и AB и пересекающие прямые CA, AB и BC в точках M, N и Q соответственно. Докажите, что точки M, N и Q лежат на одной прямой.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 109578

Темы:   [ Правильная пирамида ] [ Проектирование помогает решить задачу ] [ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ] [ Теорема о трех перпендикулярах ]

Сложность: 5- Классы: 10,11

На боковых ребрах SA , SB и SC правильной треугольной пирамиды SABC взяты соответственно точки A₁ , B₁ и C₁ так, что плоскости A₁B₁C₁ и ABC параллельны. Пусть O – центр сферы, проходящей через точки S , A , B и C₁ . Докажите, что прямая SO перпендикулярна плоскости A₁B₁C .

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 115448

Темы:   [ Ортоцентр и ортотреугольник ] [ Вписанный угол, опирающийся на диаметр ] [ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ] [ Вписанные четырехугольники (прочее) ] [ Вписанные и описанные окружности ]

Сложность: 5- Классы: 9,10,11

Четырёхугольник ABCD вписан в окружность с диаметром AD ; O  — точка пересечения его диагоналей AC и BD является центром другой окружности, касающейся стороны BC . Из вершин B и С проведены касательные ко второй окружности, пересекающиеся в точке T . Докажите, что точка T лежит на отрезке AD .

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 108156

Темы:   [ Вписанные и описанные окружности ] [ Биссектриса делит дугу пополам ] [ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ] [ Угол между касательной и хордой ] [ Общая касательная к двум окружностям ] [ Свойства биссектрис, конкуррентность ]

Сложность: 5+ Классы: 8,9,10

Пусть окружность, вписанная в треугольник ABC , касается его сторон AB , BC и AC в точках K , L и M соответственно. К окружностям, вписанным в треугольники BKL , CLM и AKM проведены попарно общие внешние касательные, отличные от сторон треугольника ABC . Докажите, что эти касательные пересекаются в одной точке.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 64974

Темы:   [ Конкуррентность высот. Углы между высотами. ] [ Касающиеся окружности ] [ Угол между касательной и хордой ] [ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ] [ Вписанный угол, опирающийся на диаметр ]

Сложность: 3 Классы: 9,10,11

Высоты AA₁ и BB₁ треугольника ABC пересекаются в точке H. Прямая CH пересекает полуокружность с диаметром AB, проходящую через точки A₁ и B₁, в точке D. Отрезки AD и BB₁ пересекаются в точке M, BD и AA₁ – в точке N. Докажите, что описанные окружности треугольников B₁DM и A₁DN касаются.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 66 67 68 69 70 71 72 >> [Всего задач: 499]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями