Шестиугольник ABCDEF — вписанный, причём  AB || DE  и  BC || EF.  Докажите, что  CD || EF.

   Решение

a, b, c, d ≥ 0,  причём  c + d ≤ a,  c + d ≤ b.  Докажите, что  ad + bc ≤ ab.

   Решение

Существует ли в сутках момент, когда расположенные на общей оси часовая, минутная и секундная стрелки правильно идущих часов образуют попарно углы в 120°?

   Решение

Докажите, что любой выпуклый n-угольник, где n6, можно разрезать на выпуклые пятиугольники.

   Решение

Прямые AP, BP и CP пересекают стороны треугольника ABC (или их продолжения) в точках A₁, B₁ и C₁. Докажите, что:
а) прямые, проходящие через середины сторон BC, CA и AB параллельно прямым AP, BP и CP, пересекаются в одной точке;
б) прямые, соединяющие середины сторон BC, CA и AB с серединами отрезков AA₁, BB₁ и CC₁, пересекаются в одной точке.

   Решение

Назовём натуральное число n удобным, если  n² + 1  делится на 1000001. Докажите, что среди чисел 1, 2, ..., 1000000 чётное число удобных.

   Решение

Страница: << 97 98 99 100 101 102 103 >> [Всего задач: 694]      

Основанием прямой призмы ABCA1B1C1 является прямоугольный треугольник ABC ( B = 90^o , AB=BC=10 ); AA1=BB1=CC1=12 . Точка M – середина бокового ребра AA1 . Через точки M и B1 проведена плоскость, составляющая с плоскостью основания угол 45^o и пересекающая ребро CC1 в точке E . Найдите CE .

Прислать комментарий

Решение

Основанием пирамиды служит треугольник со сторонами 5, 12 и 13, а её высота образует с высотами боковых граней (опущенных из той же вершины) одинаковые углы, не меньшие 30^o . Какой наибольший объём может иметь такая пирамида?

Прислать комментарий

Решение

Основанием пирамиды служит треугольник со сторонами 9, 12 и 15, а её высота образует с высотами боковых граней (опущенных из той же вершины) одинаковые углы, не меньшие 60^o . Какой наибольший объём может иметь такая пирамида?

Прислать комментарий

Решение

В правильной треугольной призме BCDB1C1D1 ( BB1 || CC1 || DD1 ) известно, что BB1:BC=5:3 . На боковых рёбрах BB1 , CC1 и DD1 взяты точки L , M и N соответственно, причём BL:LB1=3:2 , CM:MC1=2:3 , DN:ND1=1:4 . Найдите двугранный угол между плоскостями LMN и BCD .

Прислать комментарий

Решение

В правильной треугольной призме LMNL1M1N1 ( LL1 || MM1 || NN1 ) известно, что LL1:LM=9:2 . На боковых рёбрах LL1 , MM1 и NN1 взяты точки B , C и D соответственно, причём LB:BL1=2:7 , MC:CM1=6:3 , ND:DN1=4:5 . Найдите двугранный угол между плоскостями BCD и LMN .

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 97 98 99 100 101 102 103 >> [Всего задач: 694]