Страница:
<< 160 161 162 163
164 165 166 >> [Всего задач: 1308]
|
|
|
Сложность: 4+
Классы: 8,9,10,11
|
На острове живут
100
рыцарей и
100
лжецов, у каждого из них есть хотя бы один друг. Рыцари всегда говорят правду, а лжецы всегда лгут. Однажды утром каждый житель произнес либо фразу "Все мои друзья – рыцари", либо фразу "Все мои друзья – лжецы", причем каждую из фраз произнесло ровно
100
человек. Найдите наименьшее возможное число пар друзей, один из которых рыцарь, а другой – лжец.
|
|
|
Сложность: 4+
Классы: 9,10,11
|
Пете и Васе подарили одинаковые наборы из N гирь, в которых массы любых двух гирь различаются не более, чем в 1,25 раз. Пете удалось разделить все гири своего набора на 10 равных по массе групп, а Васе удалось разделить все гири своего набора на 11 равных по массе групп. Найдите наименьшее возможное значение N.
|
|
|
Сложность: 4+
Классы: 8,9,10
|
Двое играющих по очереди пишут – каждый на своей половине доски – по одному натуральному числу (повторения разрешаются) так, чтобы сумма всех чисел на доске не превосходила 10000. После того, как сумма всех чисел на доске становится равной 10000, игра заканчивается подсчетом суммы всех цифр на каждой половине. Выигрывает тот, на чьей половине сумма цифр меньше (при равных суммах – ничья). Может ли кто-нибудь из игроков выиграть, как бы ни играл противник?
|
|
|
Сложность: 4+
Классы: 8,9,10,11
|
Игровое поле представляет собой
полоску
1
× N . В начале игры на нескольких крайних левых
полях стоит по одной белой шашке, на стольких же крайних правых
полях — по одной чёрной шашке. Белые и Чёрные ходят по очереди,
начинают Белые. Ход заключается в передвижении одной из своих
шашек в направлении противника (Белые ходят направо, Чёрные
— налево). Можно делать простой ход или бить шашки соперника.
При простом ходе разрешается перемещать шашку на любое
число клеток, но нельзя перепрыгивать ни через свои шашки, ни
через чужие. Бьют шашки соперника по тем же правилам, что и в
обычных шашках:
Шашка бьёт шашку соперника, стоящую на соседнем поле, если
следующее за ним поле свободно. При этом своя шашка перемещается
на это свободное поле, а побитая шашка соперника снимается с
доски.
Бить обязательно: если есть возможность бить, делать вместо
этого простой ход какой-либо шашкой нельзя.
Если шашка, побившая шашку соперника, может сразу побить
следующую его шашку, она должна продолжать бить тем же ходом.
Кто — Белые или Чёрные
— победят в этой игре вне зависимости от игры партнёра? Рассмотрите случаи:
а) У игроков по одной шашке, поле длиной
N>2
клеток;
б) У игроков по две шашки, поле длиной
N>4
клеток;
в) У игроков по три шашки, поле длиной
N>6
клеток;
г)
Дополнительное задание. Можно подумать, что численное
преимущество решает исход игры. Придумайте и нарисуйте, однако,
позицию, где у Белых меньше шашек, чем у Чёрных, и тем не менее,
Белые начинают (с простого хода) и выигрывают.
|
|
|
Сложность: 4+
Классы: 10,11
|
В Академии Наук 999 академиков. Каждая научная тема интересует ровно троих академиков, и у каждых двух академиков есть ровно одна тема, интересная им обоим. Докажите, что можно выбрать 250 тем из их общей области научных интересов так, чтобы каждый академик интересовался не более чем одной из них.
Страница:
<< 160 161 162 163
164 165 166 >> [Всего задач: 1308]
Фильтр
