Дан выпуклый пятиугольник ABCDE. Сторонами, противоположными вершинам A, B, C, D, E, мы называем соответственно отрезки CD, DE, EA, AB, BC. Докажите, что если произвольную точку M, лежащую внутри пятиугольника, соединить прямыми со всеми его вершинами, то из этих прямых либо ровно одна, либо ровно три, либо ровно пять пересекают стороны пятиугольника, противоположные вершинам, через которые они проходят.

   Решение

Страница: << 44 45 46 47 48 49 50 >> [Всего задач: 1032]      

Внутри выпуклого четырехугольника ABCD построены равнобедренные прямоугольные треугольники ABO₁, BCO₂, CDO₃ и DAO₄. Докажите, что если O₁ = O₃, то O₂ = O₄.

Прислать комментарий

Решение

а) В треугольник ABC вписаны треугольники A₁B₁C₁ и A₂B₂C₂ так, что  C₁A₁ ⊥ BC,  A₁B₁ ⊥ CA,  B₁C₁ ⊥ AB,  B₂A₂ ⊥ BC,  C₂B₂ ⊥ CA,
A₂C₂ ⊥ AB.  Докажите, что эти треугольники равны.

б) Внутри треугольника ABC взяли точки A₁, B₁, C₁, A₂, B₂, C₂ так, что A₁ - на отрезке AB₁, B₁ - на отрезке BC₁, C₁ – на отрезке CA₁, A₂ – на отрезке AC₂, B₂ – на отрезке BA₂, C₂ – на отрезке CB₂ и углы BAA₁, CBB₁, ACC₁, CAA₂, ABB₂, BCC₂ равны. Докажите, что треугольники A₁B₁C₁ и A₂B₂C₂ равны.

Прислать комментарий

Решение

Имеется бильярдный стол в виде многоугольника (не обязательно выпуклого), у которого все углы составляют целое число градусов, а угол A – в точности 1°. В вершинах находятся точечные лузы, попав в которые шар проваливается. Из вершины A вылетает точечный шар и движется внутри многоугольника, отражаясь от сторон по закону "угол падения равен углу отражения". Докажите, что он никогда не вернётся в вершину A.

Прислать комментарий

Решение

Даны прямая и две точки A и B по одну сторону от неё. Найти на прямой такую точку M, чтобы сумма MA + MB равнялась заданному отрезку.

Прислать комментарий

Решение

Из картона вырезали два одинаковых многоугольника, совместили их и проткнули в некоторой точке булавкой. При повороте одного из многоугольников около этой "оси" на 25^o30 он снова совместился со вторым многоугольником. Каково наименьшее возможное число сторон таких многоугольников?

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 44 45 46 47 48 49 50 >> [Всего задач: 1032]