Каталог по темам

Задачи

Страница: << 7 8 9 10 11 12 13 >> [Всего задач: 182]

Задача 64898

Темы:	[	Частные случаи тетраэдров (прочее)	]
	[	Вписанные и описанные окружности	]
	[	Отношение, в котором биссектриса делит сторону	]

Сложность: 4-
Классы: 10,11

В тетраэдре АВСD: АВ = 8, ВС = 10, АС = 12, BD = 15. Известно, что четыре отрезка, соединяющие вершины тетраэдра с центрами окружностей, вписанных в противолежащие грани, пересекаются в одной точке. Найдите длины рёбер DA и DC.

Решение

Пусть отрезки DO₁ и АО₂, где O₁ и О₂ – центры вписанных окружностей треугольников ABC и DВС пересекаются в точке N (см. рис.). Тогда точки А, D, O₁ и О₂ лежат в одной плоскости, поэтому прямые АO₁ и DО₂ пересекают ребро ВС в одной и той же точке L. Так как AL и DL – биссектрисы треугольников ABC и DВС, то AB : AC = BL : CL = DB : DC. Следовательно, DC·AB = DВ·AC, откуда DC = 15·12 : 8 = 22,5.

Заменив АО₂ на CО₃, где О₃ – центр вписанной окружности грани ABD, аналогично получим DВ·AC = DA·BC, откуда DA = 15·12 : 10 = 18.

Ответ

DA = 18, DC = 22,5.

Прислать комментарий

Задача 65420

Темы:	[	Правильный тетраэдр	]
	[	Разрезания на части, обладающие специальными свойствами	]
	[	Примеры и контрпримеры. Конструкции	]

Сложность: 4-
Классы: 10,11

Автор: Мерзон Г.А.

Разрежьте правильный тетраэдр на равные многогранники с шестью гранями.

Решение

Приведём примеры, в которых правильный тетраэдр разрезается на два, на три и на четыре равных шестигранника.
Разрезание на 2 части. Возьмём центр правильного тетраэдра и соединим его с каждой из вершин. Получится разрезание тетраэдра на четыре равные правильные пирамиды, у каждой из которых по четыре грани. Если объединить эти части по две, получатся два равных шестигранника.
Разрезание на 3 части. Разрежем правильный треугольник на три равных пятиугольника (см. рис.). Пятиугольники равны, так как совмещаются поворотом на 120°. Если взять такую картинку в основании тетраэдра и соединить оставшуюся вершину тетраэдра с каждой из вершин пятиугольников, то получится разрезание тетраэдра на три равных шестигранника (каждый из которых является невыпуклой пирамидой).

Разрезание на 4 части. Во всех предыдущих решениях части шестигранники были невыпуклыми, но можно разрезать тетраэдр и на равные выпуклые шестигранники. Соединим сначала на каждой из граней центр с серединой каждого ребра грани. Грани окажутся разбиты на равные четырёхугольники. Теперь соединим центр тетраэдра со всеми центрами граней – и получится разбиение тетраэдра на четыре равных шестигранника с четырёхугольными гранями. (Центр тетраэдра, центры двух граней и середина их общего ребра лежат в одной плоскости – а именно, в плоскости, проходящей через середину ребра и содержащей противоположное ребро.)

Прислать комментарий

Задача 65942

Темы:	[	Правильный тетраэдр	]
	[	Развертка помогает решить задачу	]
	[	Площадь круга, сектора и сегмента	]

Сложность: 4-
Классы: 10,11

Автор: Долбилин Н.

Планета "Тетраинкогнито", покрытая "океаном", имеет форму правильного тетраэдра с ребром 900 км.
Какую площадь океана накроет "цунами" через 2 часа после тетратрясения с эпицентром в
а) центре грани,
б) середине ребра,
если скорость распространения цунами 300 км/час?

Решение

а) Рассмотрим развёртку в виде правильного треугольника и докажем, что кратчайший путь из его центра в любую точку будет на этой развертке отрезком. Пусть O – центр грани ABC, X – точка на грани ABD и некоторый путь из O в X пересекает сначала ребро AC (рис. слева). Если продолжить этот путь на развёртке, мы попадём в некоторую точку на ребре AD. Но в эту точку ведёт и путь через ребро AB, через которое в X можно попасть напрямую (рис. в центре).

Поэтому площадь, которую накроет цунами, есть разность между площадью круга радиусом 600 км и утроенной площадью сегмента (рис. справа).

Площадь сегмента есть разность площадей сектора и треугольника:

откуда искомая площадь равна

б) Рассматривая "двойную" развертку тетраэдра и рассуждая, как в предыдущем случае, убеждаемся в том, что кратчайшие пути лежат внутри заштрихованного прямоугольника.

Площадь, которую накроет цунами, есть разность площади круга и удвоенной площади сегмента.
∠POA = arccos ^OA/_OP = arccos ¾ ⇒ ∠POQ = 2arccos ¾,

а искомая площадь равна

Ответ

а) км²; б) км².

Прислать комментарий

Задача 66227

Темы:	[	Частные случаи тетраэдров (прочее)	]
	[	Подобные треугольники (прочее)	]
	[	Примеры и контрпримеры. Конструкции	]

Сложность: 4-
Классы: 10,11

Автор: Богданов И.И.

Даны два тетраэдра. Ни у одного из них нет двух подобных граней, но каждая грань первого тетраэдра подобна какой-то грани второго.
Обязательно ли эти тетраэдры подобны?

Решение

Пусть t – число, достаточно близкое к 1. Тогда существуют два тетраэдра, основаниями которых являются правильные треугольники со стороной 1, а боковые стороны у одного равны t, t², t³, а у другого – ¹/_t, ¹/_t², ¹/_t³. Они, очевидно, удовлетворяют условию, но не подобны.

Ответ

Не обязательно.

Прислать комментарий

Задача 115783

Темы:	[	Частные случаи тетраэдров (прочее)	]
	[	Объем тетраэдра и пирамиды	]
	[	Площадь и объем (задачи на экстремум)	]

Сложность: 4-
Классы: 8,9,10,11

Автор: Шноль Д.Э.

Основанием пирамиды является правильный треугольник со стороной 1. Из трёх углов при вершине пирамиды два – прямые.
Найдите наибольший объём пирамиды.

Решение

Пусть ABC – основание пирамиды, стороны AC, BC видны из её вершины S под прямыми углами. Тогда S лежит на линии пересечения сфер с диаметрами AC и BC, то есть на окружности, лежащей в плоскости, перпендикулярной основанию, с диаметром CD, где D – середина AB. Максимум объёма достигается, когда S – наиболее удаленная от плоскости ABC точка этой окружности. При этом высота пирамиды равна ½ CD, а её объём равен ¹/₁₆.

Прислать комментарий

Страница: << 7 8 9 10 11 12 13 >> [Всего задач: 182]