Каталог по темам

Выбрано 5 задач

Мальвина записала равенство МА·ТЕ·МА·ТИ·КА = 2016000 и предложила Буратино заменить одинаковые буквы одинаковыми цифрами, разные буквы – разными цифрами, чтобы равенство стало верным. Есть ли у Буратино шанс выполнить задание?

Решение

После экспериментов с мнимой единицей, Коля Васин занялся комплексной экспонентой. Пользуясь формулами задачи 61115, он смог доказать, что sin x всегда равен нулю, а cos x – единице:

Где ошибка в приведённых равенствах?

Решение

Ромб ABCD и параллелограмм BCFE с углом $\angle$ BCF = 120^o расположены так, что точка E лежит на отрезке AD, а точка F — на продолжении стороны AD за точку D. Площадь четырёхугольника BCDE составляет ${\frac{3}{4}}$ площади ромба. Найдите углы ромба.

Решение

Автор: Бибиков П.

Дан треугольник $ABC$. Точки $A_1$, $A_2$, $B_1$, $B_2$ берутся на его описанной окружности так, что $A_1B_1\parallel AB$, $A_1A_2\parallel BC$, $B_1B_2\parallel AC$. Прямые $AA_2$ и $CA_1$ пересекаются в точке $A'$, а прямые $BB_2$ и $CB_1$ – в точке $B'$. Докажите, что все прямые $A'B'$ проходят через одну точку.

Решение

Числа m и n называются дружественными, если сумма собственных делителей числа m равна n и, наоборот, сумма собственных делителей числа n равна m. Другими словами, числа m и n являются дружественными, если σ(m) – m = n и σ(n) – n = m.
Докажите, что если все три числа p = 3·2^k–1 – 1, q = 3·2^k – 1 и r = 9·2^2k–1 – 1 – простые, то числа m = 2^kpq и n = 2^kr – дружественные. Постройте примеры дружественных чисел.

Решение

Задача 116228

Задача 55158

Задача 55223

Задача 52802

Задача 54009