ЗАДАЧИ
problems.ru 		О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Тема: Все темы >> Геометрия >> Планиметрия >> Окружности >> Диаметр, хорды и секущие >> Диаметр, основные свойства
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Выбрано 4 задачи
Версия для печати
Убрать все задачи

Из произвольной точки M, лежащей внутри правильного треугольника ABC, опущены перпендикуляры MC1, MA1, MB1 на стороны AB, BC и CA соответственно. Докажите, что

AC1 + BA1 + CB1 = C1B + A1C + B1A.

Вниз   Решение

Автор: Осьмова Е.Н.

Найдите все такие целые положительные k, что число
1...12...2-2...2
является квадратом целого числа.
(В первом слагаемом (уменьшаемом) всего 2000 цифр, из которых на последних местах стоят цифры "2" в количестве k штук, а остальные цифры - "1";
второе слагаемое (вычитаемое) состоит из 1001 поряд стоящих цифр "2")

ВверхВниз   Решение

Найдите ключ к "тарабарской грамоте"  — тайнописи, применявшейся ранее в России для дипломатической переписки: "Пайцике тсюг т "`камащамлтой чмароке"'  — кайпонили, нмирепяшвейля мапее ш Моллии цся цинсоракигелтой неменилти".

ВверхВниз   Решение

Авторы: Челноков Г.Р., Сендеров В.А.

Решите в натуральных числах уравнение  (1 + nk)l = 1 + nm,  где  l > 1.

Вверх   Решение

Задачи

Страница: << 4 5 6 7 8 9 10 >> [Всего задач: 105]      

  с решениями  

Задача 55225

Темы:   [ Диаметр, основные свойства ]
[ Перпендикуляр короче наклонной. Неравенства для прямоугольных треугольников ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9

Через точку пересечения двух окружностей проведите прямую, на которой окружности высекают хорды, сумма которых наибольшая. (Центры окружностей расположены по разные стороны от их общей хорды).

Прислать комментарий     Решение

Задача 101894

Темы:   [ Диаметр, основные свойства ]
[ Центральный угол. Длина дуги и длина окружности ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9

Пятиугольник PQRST вписан в окружность. Найдите её длину, если $ \angle$QPR = $ \angle$RPT, площадь треугольника PST равна площади треугольника RST, площадь треугольника PQR равна площади треугольника QRS, а QS + 4PR = 10.
Прислать комментарий     Решение

Задача 52446

Темы:   [ Диаметр, основные свойства ]
[ Теорема о длинах касательной и секущей; произведение всей секущей на ее внешнюю часть ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9

В треугольнике ABC известно, что AB = $ \sqrt{14}$ и BC = 2. Окружность проведена через точку B, через середину D отрезка BC, через точку E на отрезке AB и касается стороны AC. Найдите отношение, в котором эта окружность делит отрезок AB, если DE — диаметр этой окружности.

Прислать комментарий     Решение

Задача 52429

Темы:   [ Диаметр, основные свойства ]
[ Отношения площадей подобных фигур ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9

На стороне BC треугольника ABC как на диаметре построена окружность, пересекающая отрезок AB в точке D. Найдите отношение площадей треугольников ABC и BCD, если известно, что AC = 15, BC = 20 и $ \angle$ABC = $ \angle$ACD.

Прислать комментарий     Решение

Задача 55495

Темы:   [ Диаметр, основные свойства ]
[ Теорема Пифагора (прямая и обратная) ]
[ Отношение площадей треугольников с общим основанием или общей высотой ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9

Через точку M, расположенную на диаметре окружности радиуса 4, проведена хорда AB, образующая с диаметром угол 30o. Через точку B проведена хорда BC, перпендикулярная данному диаметру. Найдите площадь треугольника ABC, если AM : MB = 2 : 3.

Прислать комментарий     Решение

Страница: << 4 5 6 7 8 9 10 >> [Всего задач: 105]      

  с решениями  

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам