Каталог по темам

Задачи

Страница: << 18 19 20 21 22 23 24 >> [Всего задач: 118]

Задача 61146

[Ряд обратных квадратов]

Темы:	[	Суммы числовых последовательностей и ряды разностей	]
	[	Тождественные преобразования (тригонометрия)	]
	[	Комплексные числа помогают решить задачу	]

Сложность: 5
Классы: 10,11

а) Докажите, что при нечётном n > 1 справедливо равенство: = – θ (0 < θ < 1).
б) Докажите тождество: = .

Прислать комментарий

Решение

Задача 61099

[Многочлены Чебышева]

Темы:	[	Тригонометрическая форма. Формула Муавра	]
	[	Многочлены Чебышева	]
	[	Тригонометрия (прочее)	]
	[	Комплексные числа помогают решить задачу	]
	[	Треугольник Паскаля и бином Ньютона	]

Сложность: 4-
Классы: 9,10,11

а) Используя формулу Муавра, докажите, что cos nx = T_n(cos x), sin nx = sin x U_n–1(cos x), где T_n(z) и U_n(z) – многочлены степени n.
При этом по определению U₀(z) = 1.
б) Вычислите в явном виде эти многочлены для n = 0, 1, 2, 3, 4, 5.

Многочлены T_n(z) и U_n(z) называются многочленами Чебышёва первого и второго рода соответственно.

Прислать комментарий

Решение

Задача 61130

Темы:	[	Суммы числовых последовательностей и ряды разностей	]
	[	Треугольник Паскаля и бином Ньютона	]
	[	Тождественные преобразования (тригонометрия)	]
	[	Комплексные числа помогают решить задачу	]

Сложность: 4-
Классы: 10,11

Вычислите суммы:

а) 1 + a cos φ + ... + a^k cos kφ + ... ( |a| < 1);

б) a sin φ + ... + a^k sin kφ + ... ( |a| < 1);

в)

г)

Прислать комментарий

Решение

Задача 77966

Темы:	[	Деление многочленов с остатком. НОД и НОК многочленов	]
	[	Квадратные уравнения. Формула корней	]
	[	Теорема Виета	]
	[	Комплексные числа помогают решить задачу	]

Сложность: 4
Классы: 9,10,11

Докажите, что ни при каком целом A многочлен 3x²ⁿ + Axⁿ + 2 не делится на многочлен 2x^2m + Ax^m + 3.

Прислать комментарий

Решение

Задача 107841

Темы:	[	Инварианты	]
	[	Производная в точке	]
	[	Деление многочленов с остатком. НОД и НОК многочленов	]
	[	Комплексные числа помогают решить задачу	]

Сложность: 5+
Классы: 10,11

Автор: Евдокимов М.А.

На доске написаны три функции: f₁(x) = x + ¹/_x, f₂(x) = x², f₃(x) = (x – 1)². Можно складывать, вычитать и перемножать эти функции (в том числе возводить в квадрат, в куб, ...), умножать их на произвольное число, прибавлять к ним произвольное число, а также проделывать эти операции с полученными выражениями. Получите таким образом функцию ¹/_x.
Докажите, что если стереть с доски любую из функций f₁, f₂, f₃, то получить ¹/_x невозможно.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 18 19 20 21 22 23 24 >> [Всего задач: 118]