Версия для печати
Убрать все задачи

---

Изначально на стол кладут 100 карточек, на каждой из которых записано по натуральному числу; при этом среди них ровно 28 карточек с нечётными числами. Затем каждую минуту проводится следующая процедура. Для каждых 12 карточек, лежащих на столе, вычисляется произведение записанных на них чисел, все эти произведения складываются, и полученное число записывается на новую карточку, которая добавляется к лежащим на столе. Можно ли выбрать исходные 100 чисел так, что для любого натурального d на столе рано или поздно появится карточка с числом, кратным 2^d?

   Решение

---

Назовём квартетом четвёрку клеток на клетчатой бумаге, центры которых лежат в вершинах прямоугольника со сторонами, параллельными линиям сетки. (Например, на рисунке нарисованы три квартета.) Какое наибольшее число квартетов можно разместить в
  а) квадрате 5×5;
  б) прямоугольнике m×n клеток?

   Решение

Страница: << 113 114 115 116 117 118 119 >> [Всего задач: 632]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 35363

Темы:   [ Обход графов ] [ Обходы многогранников ] [ Степень вершины ] [ Четность и нечетность ]

Сложность: 3 Классы: 7,8,9

Жук ползёт по рёбрам куба. Сможет ли он последовательно обойти все рёбра, проходя по каждому ребру ровно один раз?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 64562

Темы:   [ Уравнения в целых числах ] [ Доказательство от противного ] [ Принцип Дирихле (прочее) ] [ Четность и нечетность ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Найдутся ли такие три натуральных числа, что сумма каждых двух из них – степень тройки?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 76521

Темы:   [ Свойства коэффициентов многочлена ] [ Симметрия и инволютивные преобразования ] [ Формулы сокращенного умножения (прочее) ] [ Четность и нечетность ]

Сложность: 3 Классы: 8,9,10

Доказать, что в произведении  (1 – x + x² – x³ + ... – x⁹⁹ + x¹⁰⁰)(1 + x + x² + x³ + ... + x⁹⁹ + x¹⁰⁰)  после раскрытия скобок и приведения подобных членов не остаётся членов, содержащих x в нечётной степени.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 64796

Темы:   [ Замощения костями домино и плитками ] [ Вспомогательная раскраска (прочее) ] [ Доказательство от противного ] [ Четность и нечетность ]

Сложность: 3+ Классы: 7,8

Из шахматной доски (размером 8×8) вырезали центральный квадрат размером 2×2.
Можно ли оставшуюся часть доски разрезать на равные фигурки в виде буквы "Г", состоящие из четырёх клеток?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 65296

Темы:   [ Дискретное распределение ] [ Условная вероятность ] [ Линейные рекуррентные соотношения ] [ Четность и нечетность ] [ Линейные неравенства и системы неравенств ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10,11

На клавиатуре калькулятора есть цифры от 0 до 9 и знаки двух действий (см. рисунок). Вначале на дисплее написано число 0. Можно нажимать любые клавиши. Калькулятор выполняет действия в последовательности нажатий. Если знак действия нажать подряд несколько раз, то калькулятор запомнит только последнее нажатие.
  а) Кнопка со знаком умножения сломалась и не работает. Рассеянный Учёный нажал несколько кнопок в случайной последовательности. Какой результат получившейся цепочки действий более вероятен – чётное число или нечётное?
  б) Решите предыдущую задачу, если кнопку со знаком умножения починили.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 113 114 115 116 117 118 119 >> [Всего задач: 632]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями