Страница: << 49 50 51 52 53 54 55 >> [Всего задач: 1354]      

Даны N прямоугольных треугольников  (N > 1).  У каждого выбрали по одному катету и нашли сумму их длин, затем нашли сумму длин оставшихся катетов и, наконец, нашли сумму длин всех гипотенуз. Оказалось, что три найденных числа являются длинами сторон некоторого прямоугольного треугольника. Докажите, что все исходные треугольники подобны.

Прислать комментарий

Решение

Внутри прямоугольного треугольника построили две равные окружности так, что первая касается одного из катетов и гипотенузы, вторая касается другого катета и гипотенузы, а ещё эти окружности касаются друг друга. Пусть M и N – точки касания окружностей с гипотенузой. Докажите, что середина отрезка MN лежит на биссектрисе прямого угла треугольника.

Прислать комментарий

Решение

На гипотенузе AC прямоугольного треугольника ABC отметили точку такую C₁, что  BC = CC₁.  Затем на катете AB отметили такую точку C₂, что
AC₂ = AC₁;  аналогично определяется точка A₂. Найдите угол AMC, где M – середина отрезка A₂C₂.

Прислать комментарий

Решение

Пусть BM – медиана прямоугольного треугольника ABC  (∠B = 90°).  Окружность, вписанная в треугольник ABM, касается сторон AB, AM в точках A₁, A₂; аналогично определяются точки C₁, C₂. Докажите, что прямые A₁A₂ и C₁C₂ пересекаются на биссектрисе угла ABC.

Прислать комментарий

Решение

Окружность, вписанная в прямоугольный треугольник ABC  (∠B = 90°),  касается сторон AB, BC, CA в точках C₁, A₁, B₁ соответственно. A₂, C₂ – точки, симметричные точке B₁ относительно прямых BC, AB соответственно. Докажите, что прямые A₁A₂, C₁C₂ пересекаются на медиане треугольника ABC.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 49 50 51 52 53 54 55 >> [Всего задач: 1354]