Страница:
<< 11 12 13 14 15 16
17 >> [Всего задач: 82]
В треугольнике ABC ∠A = 60°. Внутри треугольника нашлась точка O, из которой все стороны видны под углом 120°. На луче CO выбрана такая точка D, что треугольник AOD – равносторонний. Серединный перпендикуляр к отрезку AO пересекает прямую BC в точке Q. Докажите, что прямая OQ делит отрезок BD пополам.
В треугольнике
ABC проведены биссектрисы
AD ,
BE
и
CF , пересекающиеся в точке
I . Серединный перпендикуляр к отрезку
AD пересекает прямые
BE и
CF в
точках
M и
N соответственно. Докажите, что точки
A ,
I ,
M
и
N лежат на одной окружности.
|
|
|
Сложность: 4+
Классы: 9,10,11
|
Пусть IA и IB – центры вневписанных окружностей, касающихся сторон BC и CA треугольника ABC соответственно, а P – точка на описанной окружности Ω этого треугольника. Докажите, что середина отрезка, соединяющего центры описанных
окружностей треугольников IACP и IBCP, совпадает с центром окружности Ω.
|
|
|
Сложность: 5-
Классы: 9,10,11
|
В треугольнике ABC O, M, N – центр описанной окружности, центр тяжести и точка Нагеля соответственно.
Докажите, что угол MON прямой тогда и только тогда, когда один из углов треугольника равен 60°.
|
|
|
Сложность: 3+
Классы: 9,10,11
|
Прямая, проходящая через центр I вписанной окружности треугольника ABC, перпендикулярна AI и пересекает стороны AB и AC в точках C' и B' соответственно. В треугольниках BC'I и CB'I провели высоты C'C1 и B'B1 соответственно. Докажите, что середина отрезка B1C1 лежит на прямой, проходящей через точку I и перпендикулярной BC.
Страница:
<< 11 12 13 14 15 16
17 >> [Всего задач: 82]
Тема:
Все темы
>>
Геометрия
>>
Планиметрия
>>
Геометрические Места Точек
>>
Серединный перпендикуляр к отрезку (ГМТ)
