Каталог по темам

Задачи

Страница: << 1226 1227 1228 1229 1230 1231 1232 >> [Всего задач: 21756]

Задача 67111

Темы:	[	Трапеции (прочее)	]
	[	Свойства серединных перпендикуляров к сторонам треугольника.	]
	[	Четыре точки, лежащие на одной окружности	]

Сложность: 3
Классы: 8,9,10,11

Автор: Марданов А.

Точка $M$ – середина большей боковой стороны $CD$ прямоугольной трапеции $ABCD$. Описанные около треугольников $BCM$ и $AMD$ окружности $\omega_1$ и $\omega_2$ пересекаются в точке $E$. Пусть $ED$ пересекает $\omega_1$ в точке $F$, а $FB$ пересекает $AD$ в $G$. Докажите, что $GM$ – биссектриса угла $BGD$.

Прислать комментарий Решение

Задача 67114

Темы:	[	Вписанные и описанные окружности	]
	[	Отрезок, видимый из двух точек под одним углом	]
	[	Четыре точки, лежащие на одной окружности	]
	[	Вписанные четырехугольники (прочее)	]

Сложность: 3
Классы: 8,9,10,11

Автор: Швецов Д.В.

Окружность, вписанная в треугольник $ABC$, касается его сторон $AB$, $BC$, $AC$ в точках $C_{1}$, $A_{1}$, $B_{1}$ соответственно. Пусть $A'$ – точка, симметричная $A_{1}$ относительно прямой $B_{1}C_{1}$; аналогично определяется точка $C'$. Прямые $A'C_{1}$ и $C'A_{1}$ пересекаются в точке $D$. Докажите, что $BD\parallel AC$.

Прислать комментарий Решение

Задача 67118

Темы:	[	Вневписанные окружности	]
	[	Вспомогательные подобные треугольники	]
	[	Две касательные, проведенные из одной точки	]

Сложность: 3
Классы: 8,9,10,11

Автор: Швецов Д.В.

Пусть $BH$ – высота прямоугольного треугольника $ABC$ $(\angle B=90^{\circ})$. Вневписанная окружность треугольника $ABH$, противолежащая вершине $B$, касается прямой $AB$ в точке $A_{1}$; аналогично определяется точка $C_{1}$. Докажите, что $AC\parallel A_{1}C_{1}$.

Прислать комментарий Решение

Задача 67122

Темы:	[	Четыре точки, лежащие на одной окружности	]
	[	Равнобедренные, вписанные и описанные трапеции	]
	[	Симметрия помогает решить задачу	]

Сложность: 3
Классы: 8,9,10,11

Автор: Марданов А.

Хорды $AB$ и $CD$ окружности $\omega$ пересекаются в точке $E$, причем $AD = AE = EB$. На отрезке $CE$ отметили точку $F$, так что $ED = CF$. Биссектриса угла $AFC$ пересекает дугу $DAC$ в точке $P$. Докажите, что точки $A$, $E$, $F$ и $P$ лежат на одной окружности.

Прислать комментарий Решение

Задача 67135

Тема:

[

Текстовые задачи (прочее)

]

Сложность: 3
Классы: 5,6,7,8

Авторы: Казицына Т.В., Френкин Б.Р., Шаповалов А.В.

Из 100 членов Совета Двух Племён часть — эльфы, остальные — гномы. Каждый написал два числа: количество эльфов в Совете и количество гномов в Совете. При этом своих соплеменников каждый посчитал верно, а при подсчёте иноплеменников ошибся ровно на 2. В написанных числах одна цифра встретилась не менее 222 раз. Сколько эльфов и сколько гномов могло быть в Совете? Если вариантов несколько — укажите один из них.

Прислать комментарий Решение

Страница: << 1226 1227 1228 1229 1230 1231 1232 >> [Всего задач: 21756]