Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 32]      

На окружности с диаметром AC выбрана произвольная точка B, отличная от A и C. Пусть M, N – середины хорд AB, BC, а P, Q – середины меньших дуг, стягиваемых этими хордами. Прямые AQ и BC пересекаются в точке K, а прямые CP и AB – в точке L.
Докажите, что прямые MQ, NP и KL пересекаются в одной точке.

Прислать комментарий

Решение

В трапецию $ABCD$ ($AD\parallel BC$) вписана окружность $\omega$, которая касается сторон $AB$, $BC$, $CD$ и $AD$ в точках $P$, $Q$, $R$, $S$ соответственно. Прямая, проходящая через точку $P$ параллельно основаниям трапеции, пересекает прямую $QR$ в точке $X$. Докажите, что прямые $AB$, $QS$ и $DX$ пересекаются в одной точке.

Прислать комментарий

Решение

Пусть $AA_1$, $BB_1$, $CC_1$ – высоты остроугольного треугольника $ABC$; $I_a$ – центр вневписанной окружности, соответствующей вершине $A$; $I'_a$ – точка, симметричная $I_a$ относительно прямой $AA_1$. Аналогично построим точки $I'_b$, $I'_c$. Докажите, что прямые $A_1I'_a$, $B_1I'_b$, $C_1I'_c$ пересекаются в одной точке.

Прислать комментарий

Решение

В треугольнике ABC прямая m касается вписанной окружности ω. Прямые, проходящие через центр I окружности ω и перпендикулярные AI, BI, CI, пересекают прямую m в точках A', B', C' соответственно. Докажите, что прямые AA', BB', CC' пересекаются в одной точке.

Прислать комментарий

Решение

Докажите, что диагонали AD, BE, CF вписанного шестиугольника ABCDEF пересекаются в одной точке в каждом из следующих случаев:
  а)  AB = BC,  CD = DE,  EF = FA;
  б)  AB = BC,  CD = FA,  EF = DE;
  в)  AB = DE,  CD = FA,  EF = BC.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 32]