Страница:
<< 8 9 10 11
12 13 14 >> [Всего задач: 208]
В некотором выпуклом n-угольнике (n > 3) все расстояния между вершинами различны.
а) Назовём вершину неинтересной, если самая близкая к ней вершина – соседняя с ней. Каково наименьшее возможное количество неинтересных вершин (при данном n)?
б) Назовём вершину необычной, если самая дальняя от неё вершина – соседняя с ней. Каково наибольшее возможное количество необычных вершин (при данном n)?
|
|
|
Сложность: 4
Классы: 9,10,11
|
Арена цирка освещается n различными прожекторами. Каждый прожектор освещает некоторую выпуклую фигуру. Известно, что если выключить один произвольный
прожектор, то арена будет по-прежнему полностью освещена, а если выключить
произвольные два прожектора, то арена полностью освещена не будет. При каких
значениях n это возможно?
|
|
|
Сложность: 4
Классы: 9,10,11
|
Отмечено 100 точек – N вершин выпуклого N-угольника и 100 – N точек внутри этого N-угольника. Точки как-то обозначены, независимо от того, какие являются вершинами N-угольника, а какие лежат внутри. Известно, что никакие три точки не лежат на одной прямой, а никакие четыре – на двух параллельных прямых. Разрешается задавать вопросы типа: чему равна площадь треугольника XYZ (X, Y, Z – из числа отмеченных точек). Докажите, что 300 вопросов достаточно, чтобы выяснить, какие точки являются вершинами N-угольника, и чтобы найти его площадь.
|
|
|
Сложность: 4
Классы: 8,9,10,11
|
Выпуклый N-угольник разбит диагоналями на треугольники (при этом диагонали не пересекаются внутри многоугольника). Треугольники раскрашены в чёрный и белый цвета так, что каждые два треугольника с общей стороной раскрашены в разные цвета. Для каждого N найдите максимум разности количества белых и количества чёрных треугольников.
|
|
|
Сложность: 4
Классы: 7,8,9
|
Существует ли выпуклый многоугольник,
у которого каждая сторона равна какой-нибудь диагонали, а каждая
диагональ– какой-нибудь стороне?
Страница:
<< 8 9 10 11
12 13 14 >> [Всего задач: 208]
Фильтр
