Страница:
<< 10 11 12 13
14 15 16 >> [Всего задач: 208]
|
|
|
Сложность: 4+
Классы: 9,10,11
|
а) Несколько чёрных квадратов со стороной 1 см прибиты к белой плоскости одним гвоздём толщины 0,1 см (гвоздь не задевает границ квадратов). Образовалась многоугольная чёрная фигура. Может ли периметр этой фигуры быть больше 1 км?
б) Та же задача, но гвоздь имеет толщину 0 (то есть "пробивает" квадрат в точке).
в) Несколько чёрных квадратов со стороной 1 лежат на белой плоскости, образуя многоугольную чёрную фигуру (возможно, состоящую из нескольких кусков и имеющую дырки). Может ли отношение периметра этой фигуры к её площади быть больше 100000?
|
|
|
Сложность: 4+
Классы: 9,10,11
|
Доказать, что существует линия длины
+1 , которую
нельзя покрыть плоской выпуклой фигурой площади
S .
|
|
|
Сложность: 4+
Классы: 8,9,10
|
В пятиугольнике A1A2A3A4A5 проведены биссектрисы l1, l2, ..., l5 углов A1, A2, ..., A5 соответственно. Биссектрисы l1 и l2 пересекаются в точке
B1, l2 и l3 – в точке B2 и т.д., ..., l5 и l1 пересекаются в точке B5. Может ли пятиугольник B1B2B3B4B5 оказаться выпуклым?
|
|
|
Сложность: 4+
Классы: 7,8,9
|
В любом выпуклом многоугольнике, кроме параллелограмма, можно выбрать три стороны, при продолжении которых образуется треугольник, объемлющий данный многоугольник. Докажите это.
|
|
|
Сложность: 4+
Классы: 9,10
|
Пусть
A и
B — фиксированные точки,
и
— фиксированные
числа. Выберем произвольную точку
X и зададим точку
P равенством
=
+
. Докажите, что положение точки
P не
зависит от выбора точки
X тогда и только тогда, когда
+
= 1.
Докажите также, что в этом случае точка
P лежит на прямой
AB.
Страница:
<< 10 11 12 13
14 15 16 >> [Всего задач: 208]
Фильтр
