Страница:
<< 12 13 14 15
16 17 18 >> [Всего задач: 89]
Даны три точки, не лежащие на одной прямой. Через каждые две из них провести
окружность так, чтобы три проведённые окружности имели в точках пересечения
взаимно перпендикулярные касательные.
|
|
|
Сложность: 4
Классы: 9,10,11
|
Функция
f (
x) при каждом значении
x ∈ (− ∞, + ∞) удовлетворяет равенству
f(
x) + (
x + ½)
f(1 −
x) = 1.
а) Найдите
f(0) и
f(1).
б) Найдите все такие функции
f(
x).
|
|
|
Сложность: 4
Классы: 8,9,10
|
Натуральное число n таково, что 3n + 1 и 10n + 1 являются квадратами натуральных чисел. Докажите, что число 29n + 11 – составное.
|
|
|
Сложность: 4
Классы: 8,9,10,11
|
Рассматривается выпуклый четырёхугольник ABCD. Пары его противоположных сторон продолжены до пересечения: AB и CD – в точке P, CB и DA – в точке Q. Пусть lA, lB, lC и lD – биссектрисы внешних углов четырёхугольника при вершинах соответственно A, B, C, D. Пусть lP и lQ – внешние биссектрисы углов соответственно APD и AQB (то есть биссектрисы углов, дополняющих эти углы до развёрнутого). Обозначим через MAC точку пересечения lA и lC, через MBD – lB и lD, через MPQ – lP и lQ. Докажите, что, если все три точки MAC, MBD и MPQ существуют, то они лежат на одной прямой.
|
|
|
Сложность: 5-
Классы: 9,10,11
|
На отрезке [0, 1] отмечено несколько различных точек. При этом каждая отмеченная точка расположена либо ровно посередине между двумя другими
отмеченными точками (не обязательно соседними с ней), либо ровно посередине между отмеченной точкой и концом отрезка. Докажите, что все отмеченные точки рациональны.
Страница:
<< 12 13 14 15
16 17 18 >> [Всего задач: 89]
Фильтр
