ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Задачи

Страница: << 23 24 25 26 27 28 29 >> [Всего задач: 1221]      



Задача 88282

Темы:   [ Разбиения на пары и группы; биекции ]
[ Четность и нечетность ]
[ Делимость чисел. Общие свойства ]
[ Количество и сумма делителей числа ]
Сложность: 3+
Классы: 6,7,8

В небольшом шотландском городке стояла школа, в которой учились ровно 1000 школьников. У каждого из них был шкаф для одежды – всего 1000 шкафов, причём шкафы были пронумерованы числами о 1 до 1000. А ещё в этой школе жили привидения – ровно 1000 привидений. Каждый школьник, уходя из школы, запирал свой шкаф, а ночью привидения начинали играть со шкафами, то отпирая, то запирая их. Однажды вечером школьники, как обычно, оставили запертыми все шкафы. Ровно в полночь появились привидения. Сначала первое привидение открыло все шкафы; потом второе привидение закрыло те шкафы, номер которых делился на 2; затем третье привидение поменяло позиции (то есть открыло шкаф, если он был закрыт, и закрыло – если он был открыт) тех шкафов, номер которых делился на 3; следом за ним четвёртое привидение поменяло позиции тех шкафов, номер которых делился на 4 и т.д. Как только тысячное привидение поменяло позицию тысячного шкафа, пропел петух, и все привидения срочно убрались восвояси. Не скажете ли вы, сколько осталось открытых шкафов после посещения привидений?

Прислать комментарий     Решение

Задача 97815

Темы:   [ Разбиения на пары и группы; биекции ]
[ Десятичная система счисления ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9

Рассматриваются девятизначные числа, состоящие из неповторяющихся цифр от 1 до 9 в разном порядке. Пара таких чисел называется кондиционной, если их сумма равна 987654321.
  а) Доказать, что найдутся хотя бы две кондиционные пары   ((a, b)  и  (b, a)  – одна и та же пара).
  б) Доказать, что кондиционных пар – нечётное число.

Прислать комментарий     Решение

Задача 98013

Темы:   [ Процессы и операции ]
[ Теория алгоритмов (прочее) ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9,10

Автор: Фомин С.В.

Даны 1000 линейных функций:  fk(x) = pkx + qk  (k = 1, 2, ..., 1000).  Нужно найти значение их композиции  f(x) = f1(f2(f3(...f1000(x)...)))  в точке x0. Докажите, что это можно сделать не более чем за 30 стадий, если на каждой стадии можно параллельно выполнять любое число арифметических операций над парами чисел, полученных на предыдущих стадиях, а на первой стадии используются числа  p1, p2, ..., p1000q1, q2, ..., q1000,  x0.

Прислать комментарий     Решение

Задача 98017

Темы:   [ Процессы и операции ]
[ Принцип Дирихле (прочее) ]
Сложность: 3+
Классы: 7,8,9

Автор: Фомин С.В.

Лестница имеет 100 ступенек. Коля хочет спуститься по лестнице, при этом он двигается начиная сверху прыжками вниз и вверх по очереди. Прыжки бывают трёх типов – на шесть ступенек (через пять на шестую), на семь и на восемь. Два раза на одну ступеньку Коля не становится. Сможет ли он спуститься?

Прислать комментарий     Решение

Задача 98023

Темы:   [ Подсчет двумя способами ]
[ Линейные неравенства и системы неравенств ]
[ Упорядочивание по возрастанию (убыванию) ]
Сложность: 3+
Классы: 7,8,9

Автор: Фольклор

Дано 1989 чисел. Известно, что сумма любых десяти из них положительна. Докажите, что сумма всех чисел тоже положительна.

Прислать комментарий     Решение

Страница: << 23 24 25 26 27 28 29 >> [Всего задач: 1221]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .