На каждой из сторон треугольника ABC построено по прямоугольнику так, что они попарно касаются вершинами (см. рисунок).
Докажите, что прямые, соединяющие вершины треугольника ABC с соответствующими вершинами треугольника A₁B₁C₁, пересекаются в одной точке.

   Решение

Вокруг треугольника MKH описана окружность радиуса r с центром в точке O. Длина стороны HM равна a. Для сторон треугольника выполнено соотношение HK² - HM² = HM² - MK². Найдите площадь треугольника OLK, где L — точка пересечения медиан треугольника MKH.

   Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 98]      

Внутри треугольника ABC выбрана произвольная точка X . Лучи AX , BX и CX пересекают описанную около треугольника ABC окружность в точках A1 , B1 и C1 соответственно. Точка A2 симметрична точке A1 относительно середины стороны BC . Аналогично определяются точки B2 и C2 . Докажите, что найдётся такая фиксированная точка Y , не зависящая от выбора X , что точки Y , A2 , B2 и C2 лежат на одной окружности.

Прислать комментарий

Решение

Докажите, что разность квадратов соседних сторон параллелограмма меньше произведения его диагоналей.

Прислать комментарий

Решение

Вокруг треугольника MKH описана окружность радиуса r с центром в точке O. Длина стороны HM равна a. Для сторон треугольника выполнено соотношение HK² - HM² = HM² - MK². Найдите площадь треугольника OLK, где L — точка пересечения медиан треугольника MKH.

Прислать комментарий

Решение

В треугольнике ABC выполнено соотношение между сторонами = . Найдите радиус описанной окружности, если расстояние от ее центра до точки пересечения медиан равно d, а длина стороны AB равна c.

Прислать комментарий

Решение

Пусть M – точка пересечения медиан треугольника ABC . На перпендикулярах, опущенных из M на стороны BC , AC и AB , взяты точки A1 , B1 и C1 соответственно, причём A1B1 MC и A1C1 MB . Докажите, что точка M является точкой пересечения медиан и в треугольнике A1B1C1 .

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 98]