Какое наибольшее количество клеток можно отметить на шахматной доске так, чтобы с каждой из них на любую другую отмеченную клетку можно было пройти ровно двумя ходами шахматного коня?

   Решение

Дана окружность и точка O на ней. Вторая окружность с центром O пересекает первую в точках P и Q. Точка C лежит на первой окружности, а прямые CP, CQ вторично пересекают вторую окружность в точках A и B. Докажите, что  AB = PQ.

   Решение

Придворный астролог царя Гороха называет время суток хорошим, если на часах с центральной секундной стрелкой при мгновенном обходе циферблата по ходу часов минутная стрелка встречается после часовой и перед секундной. Какого времени в сутках больше: хорошего или плохого? (Стрелки часов движутся с постоянной скоростью.)

   Решение

Прямоугольный параллелепипед описан около цилиндра, радиус основания которого равен 6 . Объем параллелепипеда равен 36 . Найдите высоту цилиндра.

   Решение

В треугольнике ABC  ( AB < BC)  точка I – центр вписанной окружности, M – середина стороны AC, N – середина дуги ABC описанной окружности.
Докажите, что  ∠IMA = ∠INB.

   Решение

Объем конуса равен 144 . Через середину высоты параллельно основанию конуса проведено сечение, которое является основанием меньшего конуса с той же вершиной. Найдите объем меньшего конуса.

   Решение

Стороны основания правильной четырехугольной пирамиды равны 10, боковые ребра равны 13. Найдите площадь поверхности этой пирамиды.

   Решение

Найдите площадь поверхности многогранника, изображенного на рисунке, все двугранные углы которого прямые.

   Решение

По кругу записаны семь натуральных чисел. Известно, что в каждой паре соседних чисел одно делится на другое.
Докажите, что найдётся пара и не соседних чисел с таким же свойством.

   Решение

Делится ли многочлен  1 + x⁴ + x⁸ + ... + x^4k  на многочлен  1 + x² + x⁴ + ... + x^2k?

   Решение

Двое игроков по очереди расставляют в каждой из 24 клеток поверхности куба 2×2×2 числа 1, 2, 3, 24 (каждое число можно ставить один раз). Второй игрок хочет, чтобы суммы чисел в клетках каждого кольца из 8 клеток, опоясывающего куб, были одинаковыми. Сможет ли первый игрок ему помешать?

   Решение

Можно ли найти восемь таких натуральных чисел, что ни одно из них не делится ни на какое другое, но квадрат любого из этих чисел делится на каждое из остальных?

   Решение

Прямоугольный параллелепипед описан около цилиндра, радиус основания которого равен 9 . Объем параллелепипеда равен 81 . Найдите высоту цилиндра.

   Решение

Найти все такие тройки простых чисел x, y, z, что  19x − yz = 1995.

   Решение

Страница: << 21 22 23 24 25 26 27 >> [Всего задач: 201]      

Докажите, что если p – простое число и  1 ≤ k ≤ p – 1,  то    делится на p.

Прислать комментарий

Решение

p – простое число. Для каких чисел a решением сравнения  ax ≡ 1 (mod p)  будет само число a?

Прислать комментарий

Решение

Петров забронировал квартиру в доме-новостройке, в котором пять одинаковых подъездов. Изначально подъезды нумеровались слева направо, и квартира Петрова имела номер 636. Потом застройщик поменял нумерацию на противоположную (справа налево, см. рисунок). Тогда квартира Петрова стала иметь номер 242. Сколько квартир в доме? (Порядок нумерации квартир внутри подъезда не изменялся.)

Прислать комментарий

Решение

В семье шестеро детей. Пятеро из них соответственно на 2, 6, 8, 12 и 14 лет старше младшего, причём возраст каждого ребенка – простое число.
Сколько лет младшему?

Прислать комментарий

Решение

Найти все такие тройки простых чисел x, y, z, что  19x − yz = 1995.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 21 22 23 24 25 26 27 >> [Всего задач: 201]