Осевым сечением конуса является равносторонний треугольник со стороной 1. Найдите радиус сферы, касающейся оси конуса, его основания и боковой поверхности.

   Решение

В остроугольном треугольнике $ABC$ с высотой $AH=h$ проведена прямая через центры $O$ и $I$ описанной и вписанной окружностей. Эта прямая пересекает стороны $AB$ и $AC$ в точках $F$ и $N$ соответственно, причем около четырехугольника $BFNC$ можно описать окружность. Найдите сумму расстояний от ортоцентра треугольника $ABC$ до его вершин.

   Решение

Дан треугольник ABC. Окружность ω касается описанной окружности Ω треугольника ABC в точке A, пересекает сторону AB в точке K, а сторону BC – в точке M. Касательная CL к окружности ω такова, что отрезок KL пересекает сторону BC в точке T. Докажите, что отрезок BT равен по длине касательной, проведённой из точки B к ω.

   Решение

Найдите формулу n-го члена для последовательностей, заданных условиями ( n 0):

   Решение

Внутри квадрата ABCD расположен квадрат KMXY. Докажите, что середины отрезков AK, BM, CX и DY также являются вершинами квадрата.

   Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 96]      

Внутри квадрата ABCD расположен квадрат KMXY. Докажите, что середины отрезков AK, BM, CX и DY также являются вершинами квадрата.

Прислать комментарий

Решение

Некоторые натуральные числа отмечены. Известно, что на каждом отрезке числовой прямой длины 1999 есть отмеченное число.
Докажите, что найдётся пара отмеченных чисел, одно из которых делится на другое.

Прислать комментарий

Решение

а) 2000 фишек расположены на плоскости в вершинах выпуклого 2000-угольника. За один ход можно разбить их на две группы и фишки первой группы сдвинуть на какой-нибудь вектор, а остальные фишки оставить на месте. Может ли случиться, что после 9 ходов все фишки окажутся на одной прямой? б) А после 10 ходов?

Прислать комментарий

Решение

Две окружности радиуса R пересекаются в точках M и N. Пусть A и B — точки пересечения серединного перпендикуляра к отрезку MN с этими окружностями, лежащие по одну сторону от прямой MN. Докажите, что MN² + AB² = 4R².

Прислать комментарий

Решение

Пусть K, L, M и N — середины сторон AB, BC, CD и DA выпуклого четырехугольника ABCD.
а) Докажите, что KM(BC + AD)/2, причем равенство достигается, только если BC| AD.
б) При фиксированных длинах сторон четырехугольника ABCD найдите максимальные значения длин отрезков KM и LN.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 96]