Страница:
<< 33 34 35 36 37 38
39 >> [Всего задач: 192]
|
|
|
Сложность: 4
Классы: 8,9,10
|
Найдите x1000, если x1 = 4, x2 = 6, и при любом натуральном n ≥ 3 xn – наименьшее составное число, большее
2xn–1 – xn–2.
|
|
|
Сложность: 4
Классы: 8,9,10,11
|
Единичный квадрат разбит на конечное число квадратиков (размеры которых могут
различаться). Может ли сумма периметров квадратиков, пересекающихся с главной
диагональю, быть больше 1993? (Если квадратик пересекается с диагональю по одной точке, это тоже считается пересечением.)
|
|
|
Сложность: 4+
Классы: 9,10,11
|
Пусть $x_1 \le \dots \le x_n$. Докажите неравенство $$\bigg( \sum \limits_{i,j=1}^n |x_i-x_j|\bigg)^2 \le \frac{2 (n^2-1)}{3} \sum \limits_{i,j=1}^n (x_i-x_j)^2.$$
Докажите, что оно обращается в равенство только если числа $x_1, \dots, x_n$ образуют арифметическую прогрессию.
|
|
|
Сложность: 4+
Классы: 8,9,10
|
Для каждого натурального n обозначим через Sn сумму первых n простых чисел: S1 = 2, S2 = 2 + 3 = 5, S3 = 2 + 3 + 5 = 10, ... .
Могут ли два подряд идущих члена последовательности (Sn) оказаться квадратами натуральных чисел?
|
|
|
Сложность: 5-
Классы: 8,9,10,11
|
В прямоугольной таблице 9 строк и 2004 столбца. В её клетках расставлены числа от 1 до 2004, каждое – по 9 раз. При этом в каждом столбце числа различаются не более чем на 3. Найдите минимальную возможную сумму чисел в первой строке.
Страница:
<< 33 34 35 36 37 38
39 >> [Всего задач: 192]
Фильтр
Решение 
